动态规划+线段树

参考：

https://blog.csdn.net/qq_39641976/article/details/111195335
https://blog.csdn.net/zearot/article/details/52280189
https://blog.csdn.net/zearot/article/details/48299459
《赛博朋克 2077》 购买链接（大雾） https://store.steampowered.com/app/1091500/_2077/

题目描述
今天，看了赛博朋克2077试完后的DD_BOND，决定买它买它买它！！看了看它的价格要298后，DD_BOND看了眼自己的余额，想想有没有便宜的方法可以购买。正巧，当DD_BOND打开steam后，他发现G胖正在搞促销，只需要集齐298298个不同的点数后，就可以兑换赛博朋克2077啦。
那么现在商店中一共有m个礼包，第i个礼包需要花费v[i]的价格，礼包中包含l[i]~r[i]的所有点数，DD_BOND比较笨蛋，想寻求你帮助他，告诉他最少需要花费多少价格可以集齐1到298298的所有点数，如果不可以，请告诉他-1。

输入
一个整数m(1<=m<=1e5)，表示有m个礼包，接下来m行，每行有l[i],r[i],v[i]（1<=l[i]<=r[i]<=298298,0<=v[i]<=1e9）表示该礼包包含的点数和该礼包价格。
输出
若不能集齐1~298298所有点数输出-1，否则输出最小总价格。

样例输入
【样例1输入】

3
1 2077 1
2078 298298 2
2 298298 3

【样例2输入】

3
1 2077 1
2078 298297 3
2 21233 5

样例输出
【样例1输出】

【样例2输出】

-1

题目分析：

一、题意概括（来自参考链接1）
给出n个区间，每段区间有三个值l,r,v，v表示花费v的代价可以覆盖区间[l,r]，求覆盖区间[1,298298] 的最小代价

二、用动态规划解题（关于DP部分，后文有不使用线段树的等价代码）

(1) 定义dp[]的含义
dp[i]定义为拥有前i个点的最小花费
那么dp[298298]为本题答案（由于使用线段树，实际上dp[298298+1]才是答案，代码注释会提及）

(2) 找出dp[]间的关系式（该部分亟待完善，可以先凑合看看2333）
首先对各个区间按右端点升序排序,右端点相同的情况按左端点升序排序
然后从前往后开始遍历每一个区间，对于当前区间l,r,v来说，我们可以从dp[j] (l-1<=j<=r)转移到当前dp[k] (l<=k<=r)，可以得出状态转移方程

dp[r]=min(dp[r],dp[l-1 -> r]+v)

其中

dp[l-1 -> r] <=> dp[i],i∈[l-1,r]

(3) 找出初始条件
由于要找最小花费，规定dp[]初始值为较大数INF
在这里 INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f

如果当前区间的l=1，那么l-1=0，为了让状态转移方程给dp[1]赋上值，需要规定dp[0]=0(这里的数组下标在代码中被右移一位，实际上dp[1]=0)

三、用线段树模拟数组dp[]
详见代码，该部分日后完善

AC 代码如下

代码来源于以上三个参考链接，我根据自己的理解补充全文注释，如有谬误可及时指出

原代码应用了 快速读入 和 结构体内嵌比较函数，以提升程序运行速度。为简化代码，我使用了更简单暴力的方法(cin和sort()的cmp()参数)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define Inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 3e5+5;
struct node{//结构体存每个区间 int l,r;long long val;
}nod[maxn];bool cmp(node x,node y){//对结构体sort()所需函数 if(x.r==y.r) return x.l<y.l;else return x.r<y.r;//对各个区间按右端点升序排序,右端点相同按左端点升序排序
}/*--------------------------*/
/*-----以下为线段树部分-----*/
/*--------------------------*/ ll n,a[maxn<<2];//数组存储线段树,开4倍空间
//x*2 等价于 x<<1
//x*4 等价于 x<<2
//x*2+1 等价于 x<<1|1 void pushup(int root){//更新节点信息,这里是求左右子节点的最小值 a[root]=min(a[root<<1],a[root<<1|1]);//root*2是左下方节点,root*2+1是右下方节点
}void build(int root,int l,int r){//建树//root为当前节点在a[]的对应下标，即实际存储位置 //[l,r]表示当前节点区间 if(l==r){//到达叶子节点 a[root]=Inf;//初始化节点值为Inf,用于比最小值,同时参与判断是否所有 Steam 点数都被覆盖  return ;}int mid=l+r>>1;//左右递归,等价于min=(l+r)/2 build(root<<1  ,l    ,mid);build(root<<1|1,mid+1,r  );pushup(root);//递归完,更新本节点信息
}
void update(int root,int l,int r,int pos,ll val){//点修改 //root,l,r含义同上//pos为线段树所表达的数组dp的实际下标 pos∈[1,298298+1] //value是想要修改成的值 if(l==r){//到达叶子节点 a[root]=min(a[root],val);//修改为最小值 return ;}int mid=l+r>>1;//判断需要向左走还是向右走,从上往下一路走到叶子节点 if(pos<=mid) update(root<<1,l,mid,pos,val);else update(root<<1|1,mid+1,r,pos,val);//递归(走)完更新本节点信息 pushup(root);
}
ll query(int root,int l,int r,int ql,int qr){//区间查询 if(l>qr || r<ql) return Inf;//查询范围超出[ql,qr],且没有交叉部分.同时参与判断是否所有 Steam 点数都被覆盖  else if(l>=ql && r<=qr) return a[root];//在区间内直接返回值 else{//有交叉部分,递归到交叉部分,返回交叉部分的值 int mid=l+r>>1;return min(query(root<<1,l,mid,ql,qr),query(root<<1|1,mid+1,r,ql,qr));}
}
int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>nod[i].l>>nod[i].r>>nod[i].val;nod[i].l++;nod[i].r++;//由于线段树习惯从1开始建立,而nod[i].l-1在l=1时等于0,所以把所有区间向右移1位 }sort(nod,nod+n,cmp);/*以下为线段树部分*/ //线段树模拟数组dp[1 -> 298298+1] build(1,1,maxn);//建树update(1,1,maxn,1,0);//线段树所模拟的dp[1]赋初值为0 /*---下面这个for循环,后文有可参考的等价代码---*/ for(int i=0;i<n;i++){ll minn=query(1,1,maxn,nod[i].l-1,nod[i].r);//查询dp[l-1 -> r]最小值 minn+=nod[i].val;//最小值加上新值 update(1,1,maxn,nod[i].r,minn);}/*------------------------------------------*/ll ans=query(1,1,maxn,298298+1,298298+1);//查询线段树所模拟的数组dp[298298+1] if(ans!=Inf) cout<<ans;else cout<<-1;return 0;
}

可供参考的等价代码

时间超限 AC40%

这段代码没有用线段树模拟数组dp[]，直接暴力在dp[]数组进行区间查询和修改。理论上功能是相同的，可帮助理解DP部分
注意：没有充分的测试数据表明两段代码是等价的

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
#define Inf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn = 3e5+5;
struct node{int l,r;long long val;
}nod[maxn];bool cmp(node x,node y){if(x.r==y.r) return x.l<y.l;else return x.r<y.r;
}ll n,dp[maxn];
int main(){cin>>n;for(int i=0;i<n;i++)cin>>nod[i].l>>nod[i].r>>nod[i].val;sort(nod,nod+n,cmp);for(int i=1;i<=maxn;i++)dp[i]=Inf;for(int i=0;i<n;i++){ll minn=Inf;for(int j=nod[i].l-1;j<=nod[i].r;j++)minn=min(minn,dp[j]);minn+=nod[i].val;for(int j=nod[i].l;j<=nod[i].r;j++)dp[j]=min(minn,dp[j]);}ll ans=dp[298298];if(ans<Inf) cout<<ans; else cout<<-1<<endl;return 0;
}

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2020年浙江理工大学新生赛 E DD_BOND买赛博朋克2077

注意：本文还处于 EA 阶段，亟待修正和完善

注意：本文的代码可以AC，但解释可能有误，思路仅供参考

动态规划+线段树

参考：

题目分析：

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