最小生成树——道路建设

题目描述：

随着如今社会的不断变化，交通问题也变得越来越重要，所以市长决定建设一些公路来方便各个城市之间的贸易和交易。虽然市长的想法很好，但是他也遇到了一般人也经常头疼的问题，那就是手头的经费有限……在规划过程中，设计师们已经预算出部分城市之间建设公路的经费需求。现在市长想知道，它能不能将他的m个城市在有限的经费内实现公路交通。如果可以的话，输出Yes，否则输出No（两个城市不一定要直接的公路相连，间接公路到达也可以。）

输入描述：

测试输入包含多条测试数据
每个测试数据的第1行分别给出可用的经费c(<1000000)，道路数目n(n<10000)，以及城市数目m(<100)。
接下来的n行给出建立公路的成本信息，每行给出三个整数，分别是相连的两个城市v1、v2(0<v1,v2<=m)以及建设公路所需的成本h(h<100)。

输出描述：

对每个测试用例，输出Yes或No。

示例1

输入

20 10 5
1 2 6
1 3 3
1 4 4
1 5 5
2 3 7
2 4 7
2 5 8
3 4 6
3 5 9
4 5 2

输出

Yes

示例2

输入

10 2 2
1 2 5
1 2 15

输出

Yes

备注：

两个城市之间可能存在多条线路。

方法一：Kruskal

Kruskal算法：

设G=(V,E)是无向连通带权图，V= {1,2,…,N}；设最小生成树T= (V,TE)。该树的初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T= (V, { } ),Kruskal算法将这n个顶点看成是n个孤立的连通分支。它首先将所有的边按权值从小到大排序，然后只要T中选中的边数不到n-1，就做如下的贪心选择：在边集E中选取权值最小的边 ( i , j )，如果将边 ( i , j ) 加入集合TE中不产生回路（圈），则将边 ( i , j ) 加入边集TE中，即用边 ( i , j ) 将这两个连通分支合并连接成一个连接分支；否则继续选择下一条最短边。把边 ( i , j ) 从集合E中删去。继续上面的贪心选择，直到T中所有顶点都在同一个连通分支上为止。此时，选取到的n-1条边恰好构成G的一颗最小生成树T。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e7;
int vis[maxn],cnt,ans;
struct node{int v1;int v2;int h;
}f[maxn];
bool cmp(node a,node b)
{return a.h<b.h;
}
int find(int x)
{if(vis[x]==x){return x;}else{vis[x]=find(vis[x]);return vis[x];}
}
bool merge(int a,int b)
{int q=find(a);int p=find(b);if(p==q){return false;}else{vis[p]=q;return true;}
}
int kruskal(int n,int m)
{cnt=0;ans=0;for(int i=0;i<n;i++){if(merge(f[i].v1,f[i].v2)){ans+=f[i].h;cnt++;}if(cnt==m-1){break;}}return ans;
}
int main()
{int c,n,m;while(cin>>c>>n>>m){for(int i=0;i<maxn;i++){vis[i]=i;}for(int i=0;i<n;i++){cin>>f[i].v1>>f[i].v2>>f[i].h;}sort(f,f+n,cmp);int sum=kruskal(n,m);if(sum<=c){cout<<"Yes"<<endl;}else{cout<<"No"<<endl;}}return 0;
}

方法二：Prime

Prime算法

首先任选一个节点，把它放在集合U中，那么剩下的节点即V-U，V是图的所有顶点集合。现在只需看看连接两个集合（V和V-U）的边中，哪一条边权值最小，把那条权值最小的边关联的节点加入U集合。如此下去，直到U=V结束，选中的边和所有的节点组成的图就是最小生成树。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int c,n,m;
int lowcost[110],dp[110][110],vis[110];
int prime()
{memset(vis,0,sizeof(vis));int sum=0,min,minid;vis[1]=1;for(int i=2;i<=m;i++){lowcost[i]=dp[1][i];}for(int i=2;i<=m;i++){min=inf;minid=0;for(int j=2;j<=m;j++){if(vis[j]==0&&lowcost[j]<min){min=lowcost[j];minid=j;}}sum+=min;vis[minid]=1;for(int j=2;j<=m;j++){if(vis[j]==0&&lowcost[j]>dp[minid][j]){lowcost[j]=dp[minid][j];}}}return sum;
}
int main()
{while(cin>>c>>n>>m){memset(dp,inf,sizeof(dp));int v1,v2,h;for(int i=0;i<n;i++){cin>>v1>>v2>>h;if(dp[v1][v2]>h){dp[v1][v2]=dp[v2][v1]=h;}}int ans=prime();if(ans<=c){cout<<"Yes"<<endl;}else{cout<<"No"<<endl;}}return 0;
}