向量的内积外积哈达玛积

1.向量的内积

1.1 定义

从代数角度看，先对两个数字序列中的每组对应元素求积，再对所有积求和，结果即为点积。从几何角度看，点积则是两个向量的长度与它们夹角余弦的积。

表示形式： A T B A^TB ATB、 < A , B > <A,B> <A,B>

1.2 求解方式

代数形式

向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b：

a ⃗ = [ a 1 , a 2 , . . . a n ] \vec a=[a_1,a_2,...a_n] a =[a1,a2,...an] b ⃗ = [ b 1 , b 2 , . . . b n ] \vec b=[b_1,b_2,...b_n] b =[b1,b2,...bn]

a和b的点积公式为：
a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n \vec a·\vec b=\sum\limits^n\limits_{i=1}a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n a ⋅b =i=1∑naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

举个栗子：

两个三维向量 [ 1 , 3 , − 5 ] \left[1,3,-5\right] [1,3,−5]和 [ 4 , − 2 , − 1 ] [4,−2,−1] [4,−2,−1]的点积是:

[ 1 , 3 , − 5 ] ⋅ [ 4 , − 2 , − 1 ] = 1 ∗ 4 + 3 ∗ ( − 2 ) + ( − 5 ) ∗ ( − 1 ) = 4 − 6 + 5 = 3 \left[1,3,-5\right]·[4,−2,−1]=1*4+3*(-2)+(-5)*(-1)=4-6+5=3 [1,3,−5]⋅[4,−2,−1]=1∗4+3∗(−2)+(−5)∗(−1)=4−6+5=3

几何形式

在欧几里得空间中，点积可以直观地定义为:

a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \, |\vec{b}| \cos \theta \; a ⋅b =∣a ∣∣b ∣cosθ

这里 ∣ x ⃗ ∣ |\vec{x}| ∣x ∣ 表示 x ⃗ \vec{x} x 的模(长度)， θ \theta θ 表示两个向量之间的角度。

这样，两个互相垂直的向量的点积总是零。若 a ⃗ \vec{a} a 和 b ⃗ \vec{b} b 都是单位向量（长度为1），它们的点积就是它们的夹角的余弦。那么，给定两个向量，它们之间的夹角可以通过下列公式得到：
cos ⁡ θ = a ⋅ b ∣ a ⃗ ∣ ∣ b ⃗ ∣ \cos{\theta} = \frac{\mathbf{a \cdot b}}{|\vec{a}| \, |\vec{b}|} cosθ=∣a ∣∣b ∣a⋅b

1.3 几何意义

A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ cos ⁡ θ \vec{\mathbf A} \cdot \vec{\mathbf B} = |\vec{\mathbf A}| \, |\vec{\mathbf B}| \cos \theta \; A ⋅B =∣A ∣∣B ∣cosθ

欧氏空间中向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B上的标量投影是指: A B = ∣ A ∣ cos ⁡ θ A_B=|\mathbf A|\cos\theta AB=∣A∣cosθ

直观上看是：向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B的投影与 B \mathbf B B的模相乘之后的大小。

两个向量越是相似，内积就越大(夹角就越小)。

Q：为什么在度量两个向量的相似度时，选择使用cos值，而不是向量的内积呢？

A：cos有归一化的作用

2.向量的外积

2.1 定义

两个向量的外积，又叫叉乘、叉积向量积，其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。

对于向量a和向量b：

a ⃗ = [ x 1 , y 1 , z 1 ] , b ⃗ = [ x 2 , y 2 , z 2 ] \vec a=[x_1,y_1,z_1], \vec b=[x_2,y_2,z_2] a =[x1,y1,z1],b =[x2,y2,z2]

向量a和向量b外积公式为：
a × b = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k a \times b = \left| \begin{array}{cccc} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1\\ x_2 & y_2 & z_2 \end{array} \right|=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k a×b= ix1x2jy1y2kz1z2 =(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k
其中 i = ( 1 , 0 , 0 ) , j = ( 0 , 1 , 0 ) , k = ( 0 , 0 , 1 ) i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1)，根据 i 、 j 、 k i、j、k i、j、k间关系，有：
a × b = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 , − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) , x 1 y 2 − x 2 y 1 ) a \times b = (y_1z_2-y_2z_1,\ -(x_1z_2-x_2z_1),\quad x_1y_2-x_2y_1) a×b=(y1z2−y2z1, −(x1z2−x2z1),x1y2−x2y1)

2.2 向量外积的几何意义

在三维几何中，向量a和向量b的外积结果是一个向量，有个更通俗易懂的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在二维空间中，外积还有另外一个几何意义就是：|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

3.向量的哈达玛积

两个相同形状的矩阵，输出是具有同样形状的、各个位置的元素等于两个输入矩阵相同位置元素的乘积的矩阵。

若两个矩阵A和B具有相同的维度 m × n m\times n m×n，则它们的阿达玛乘积$ A\circ B$是一个具有相同维度的矩阵，其元素值为：
( A ∘ B ) i j = ( A ) i j ( B ) i j . {\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.} (A∘B)ij=(A)ij(B)ij.

4.总结

向量内积的结果为标量
向量内积的几何意义：向量 A \mathbf A A在向量 B \mathbf B B的投影与 B \mathbf B B的模相乘之后的大小。
向量a和向量b的外积结果是一个向量(法向量)，该向量垂直于a和b向量构成的平面。
哈达玛积：基于矩阵(两个矩阵的维度完全相同) 对应位置元素相乘(卷积) element-wise product

本文仅作为个人学习记录所用，不作为商业用途，谢谢理解。

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/348308540