[清华集训D1T1][Bzoj 3811][思维+线性基]玛里苟斯

想像一下，我们将异或值x拆成若干个2的次方加在一起，那么k次方的意义便是：
从这些2次方中挑出k个(有序)2次方，将它们乘起来的和。
具体一点，bi是x的二进制表达从右往左的第i+1位，于是x可以拆成
$x=/sum_{i=0}^{m}2^i*b_{i}$
而k次方要求我们求从中挑出k个项（有序，可以重复选同一项）的和
我们令ai,j表示ai二进制上第j位的数
第一步
我们先证明这些异或值的期望的小数部分必然为0.5或没有
我们从中挑出k个，记为
$l_{1}l_{2}...l_{k}$
当
$b_{l_{1}}b_{l_{2}}...b_{l_{k}}=1$
才会有贡献
考虑有多少个子集满足条件
我们相当于要求解x1~xn，满足
$x_{1}a_{1,l_{1}}+x_{2}a_{2,l_{1}}+...+x_{n}a_{n,l_{1}}/equiv 1(mod/ 2)$
$x_{!}a_{1,l_{2}}+x_{2}a_{2,l_{2}}+...+x_{n}a_{n,l_{2}}/equiv 1(mod/ 2)$
$...$
$x_{1}a_{1,l_{k}}+x_{2}a_{2,l_{k}}+...+x_{n}a_{n,l_{k}}/equiv 1 (mod/ 2)$
可以轻松地判断有没有解(即不存在一行的a全是0）
然后，有解的话,
这会是一个高斯消元法解异或方程，解的个数为2^(n-非零行的个数)
注意这里由于可能会有li=lj，但i!=j,所以这里的解方程需要去掉相同的若干行
设非零行有y行
那么贡献为
$/frac{2^{n-y}}{2^n}*/prod_{i=1}^{k}2^{l_i}=2^{-y}*/prod_{i=1}^{k}2^{l_i}$
注意到,y意味着至多有y个不同的l，所以这些不同的l中至少有y-1是正的
即整体l的和（算重）是大于等于y-1的
故小数位要么为0,要么为0.5
第二步
通过答案小于2^64，我们得出一个很重要的性质:
k=1:ai<2^64
k=2:ai<2^32
k=3:ai<2^21
k=4:ai<2^16
k=5:ai<2^13
对于k=1和2，按照我们刚才的统计方式即可。
具体一点，就是枚举l，算出对应的贡献
对于k>2，我们有一个很明显的性质,
对于集合A和ai，若集合A的异或和为ai且ai不属于A,
去掉ai后答案不变。
我们可以用线性基实现去掉ai
显然，剩下的数最多21个
爆搜即可
最后统计答案时有些细节注意一下即可。

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
int n,k;
#define Maxn 1000010
ull a[Maxn];
ull num[70];
ull b[70];
int cnt=0;
ull Ans1=0,Ans2=0;
ull All=0;
void dfs(int u,ull ans){if(u==cnt+1){ull t1=0,t2=1;for(int i=1;i<=k;++i){t2*=ans;t1*=ans;t1+=(t2>>cnt);t2&=All;}Ans1+=t1;Ans2+=t2;if(Ans2>All)Ans1++,Ans2&=All;return;}dfs(u+1,ans);dfs(u+1,ans^b[u]);
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&k);for(register int i=1;i<=n;++i)scanf("%llu",&a[i]);if(k==1){for(register int i=1;i<=n;++i)All|=a[i];ull Ans=0;for(int i=0;i<=63;++i)if(All&(1ull<<i))Ans=(Ans+(1ull<<i));if(Ans&1)printf("%llu.5\n",Ans/2ull);else printf("%llu\n",Ans/2ull);return 0;}if(k==2){ull Ans=0;for(register int i=1;i<=n;++i)All|=a[i];for(register int i=0;i<=31;++i)for(register int j=i;j<=31;++j)if((All&(1ull<<i))&&(All&(1ull<<j)))Ans=(Ans+(1ull<<(i+j)));if(Ans&1)printf("%llu.5\n",Ans/2ull);else printf("%llu\n",Ans/2ull);return 0;}for(register int i=1;i<=n;++i){ull pre=a[i];for(register int j=20;j>=0;--j)if(a[i]&(1ull<<j)){if(!num[j]){num[j]=a[i];break;}a[i]^=num[j];}if(a[i])b[++cnt]=pre;}All=(1<<cnt)-1;dfs(1,0);if(Ans2)printf("%llu.5\n",Ans1);else printf("%llu\n",Ans1);return 0;
}

[清华集训D1T1][Bzoj 3811][思维+线性基]玛里苟斯相关推荐

BZOJ 4184 shallot 线性基+分治
Description 小苗去市场上买了一捆小葱苗,她突然一时兴起,于是她在每颗小葱苗上写上一个数字,然后把小葱叫过来玩游戏. 每个时刻她会给小葱一颗小葱苗或者是从小葱手里拿走一颗小葱苗,并且让小葱从 ...
BZOJ 4184: shallot 线性基+线段树分治
复习一下线性基 ~ code: #include <cmath> #include <vector> #include <cstdio> #include < ...
【清华集训 2014】玛里苟斯（组合计数 + 线性基）
题目链接:[清华集训 2014]玛里苟斯推荐博客:[BZOJ 3811]玛里苟斯:线性基(详细证明) 首先想到将kkk分类讨论. k=1" role="presentation& ...
bzoj 3811 玛里苟斯 - 线性基
题目传送门传送门I 传送门II 题目大意给定集合$S$,问集合$S$的任意选一个子集的异或和的$k$次幂期望. 保证答案在$2^{63}$内. 注意到答案在$2^{63}$内,所以,当$k \ge ...
[BZOJ3811][UOJ#36][清华集训2014]玛里苟斯（期望 + 线性基）
Address BZOJ 3811 UOJ #36 Solution 看到异或,首先想到拆位下面 xor ( A ) \text{xor}(A) xor(A) 表示子集 A A A 的异或和, b ...
bzoj 3811: 玛里苟斯（期望+线性基）
3811: 玛里苟斯 Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 256 MB Submit: 223 Solved: 98 [Submit][Status][Discuss ...
[BZOJ 3811]玛里苟斯(线性基)尽量理解的题解
文章目录 title solution code title 魔法之龙玛里苟斯最近在为加基森拍卖师的削弱而感到伤心,于是他想了一道数学题. S 是一个可重集合,S={a1,a2,-,an}. 等概率随 ...
【清华集训2014】玛里苟斯（数学线性基）
original link - http://uoj.ac/problem/36 题意: 有一个多重集S={a1,a2,...an}S=\{a_1,a_2,...a_n\}S={a1,a2,... ...
[清华集训2015 Day1]玛里苟斯-[线性基]
Description Solution 考虑k=1的情况.假设所有数中,第i位为1的数的个数为x,则最后所有的子集异或结果中,第i位为1的个数为$(C_{k}^{1}+C_{k}^{3}+...)$ ...

[清华集训D1T1][Bzoj 3811][思维+线性基]玛里苟斯

[清华集训D1T1][Bzoj 3811][思维+线性基]玛里苟斯相关推荐

最新文章

热门文章