1.推导思路

1.1概率分布

总体基于正则系综的概率分布，即与外界只有能量交换，温度为T的系统，粒子分布在不同的状态上，满足玻尔兹曼分布，每个状态的概率为 P i = 1 Z e − β E i P_i=\frac{1}{Z} e^{-\beta E_i} Pi=Z1e−βEi， β = 1 k B T \beta=\frac{1}{k_BT} β=kBT1，这里的 E i E_i Ei是系统总能量， Z = ∑ e − β E i Z=\sum e^{-\beta E_i} Z=∑e−βEi用以使总概率为1，又叫配分函数。

1.2物质模型

认为物质是由众多带有磁矩为 μ \mu μ的粒子构成，对于一个粒子的磁矩来说，其取值的分布可以用正则系综来计算。能量可以只写出与磁矩相关的部分，严格证明见 1.3

1.3严格证明求粒子的磁矩均值时可只考虑磁矩在磁场中的能量

对于所有粒子组成的固体系统来说，可以看做与外界只有能量交换，所以可以使用正则系综

1.3.1写出整个系统的能量

整个系统的能量总共有三部分，动能，粒子之间的势能，粒子磁矩在外界磁场中能量，所以写作
E ( { p i } , { q i } , { μ i } ) = ∑ i p i 2 2 m + 1 2 ∑ i j U i j − ∑ i μ ⃗ i ⋅ B ⃗ E(\{p_i\},\{q_i\},\{\mu_i\})=\sum_i{p_i^2\over 2m}+{1\over 2}\sum_{ij}U_{ij}-\sum_i \vec\mu_i\cdot\vec B E({pi},{qi},{μi})=i∑2mpi2+21ij∑Uij−i∑μ i⋅B
其中 { p i } \{p_i\} {pi}表示 p 1 , p 2 , ⋯ p_1,p_2,\cdots p1,p2,⋯，表示第一个粒子的动量，第二个粒子的动量，……。 { q i } , { μ i } \{q_i\},\{\mu_i\} {qi},{μi}是同样的表示。

1.3.2写出配分函数

Z = ∑ { p i } , { q i } , { μ i } e − β E ( { p i } , { q i } , { μ i } ) = ( ∑ { p i } , { q i } e − β ( ∑ i p i 2 2 m + 1 2 ∑ i j U i j ) ) ( ∑ { μ i } e − β ∑ i μ ⃗ i ⋅ B ⃗ ) Z=\sum_{\{p_i\},\{q_i\},\{\mu_i\}}e^{-\beta E(\{p_i\},\{q_i\},\{\mu_i\})}=\Big(\sum_{\{p_i\},\{q_i\}}e^{-\beta\big(\sum_i{p_i^2\over 2m}+{1\over 2}\sum_{ij}U_{ij}\big)}\Big)\Big(\sum_{\{\mu_i\}}e^{-\beta\sum_i \vec\mu_i\cdot\vec B}\Big) Z={pi},{qi},{μi}∑e−βE({pi},{qi},{μi})=({pi},{qi}∑e−β(∑i2mpi2+21∑ijUij))({μi}∑e−β∑iμ i⋅B )

1.3.3求解物理量的平均值

对于一个只与某个粒子的磁矩 μ k \mu_k μk有关的物理量 B ( μ k ) B(\mu_k) B(μk)，其平均值为
< B ( μ k ) > = 1 Z ∑ { p i } , { q i } , { μ i } B ( μ k ) e − β E ( { p i } , { q i } , { μ i } ) = ∑ { μ i } B ( μ k ) e β ∑ i μ ⃗ i ⋅ B ⃗ ∑ { μ i } e β ∑ i μ ⃗ i ⋅ B ⃗ = ( ∑ { μ i = ̸ μ k } ∏ μ i e β μ ⃗ i ⋅ B ⃗ ) ∑ μ k B ( μ k ) e β μ ⃗ k ⋅ B ⃗ ( ∑ { μ i = ̸ μ k } ∏ μ i e β μ ⃗ i ⋅ B ⃗ ) ∑ μ k e β μ ⃗ k ⋅ B ⃗ = ∑ μ k B ( μ k ) e β μ ⃗ k ⋅ B ⃗ ∑ μ k e β μ ⃗ k ⋅ B ⃗ \begin{aligned} <B(\mu_k)>&=\frac{1}{Z}\sum_{\{p_i\},\{q_i\},\{\mu_i\}}B(\mu_k)e^{-\beta E(\{p_i\},\{q_i\},\{\mu_i\})}=\frac{\sum_{\{\mu_i\}}B(\mu_k)e^{\beta\sum_i \vec\mu_i\cdot\vec B}}{\sum_{\{\mu_i\}}e^{\beta\sum_i \vec\mu_i\cdot\vec B}}\\ &=\frac{\big(\sum_{\{\mu_i=\not\mu_k\}}\prod_{\mu_i}e^{\beta\vec\mu_i\cdot\vec B}\big)\sum_{\mu_k}B(\mu_k)e^{\beta\vec\mu_k\cdot\vec B}}{\big(\sum_{\{\mu_i=\not\mu_k\}}\prod_{\mu_i}e^{\beta\vec\mu_i\cdot\vec B}\big)\sum_{\mu_k}e^{\beta\vec\mu_k\cdot\vec B}}=\frac{\sum_{\mu_k}B(\mu_k)e^{\beta\vec\mu_k\cdot\vec B}}{\sum_{\mu_k}e^{\beta\vec\mu_k\cdot\vec B}} \end{aligned} <B(μk)>=Z1{pi},{qi},{μi}∑B(μk)e−βE({pi},{qi},{μi})=∑{μi}eβ∑iμ i⋅B ∑{μi}B(μk)eβ∑iμ i⋅B =(∑{μi=μk}∏μieβμ i⋅B )∑μkeβμ k⋅B (∑{μi=μk}∏μieβμ i⋅B )∑μkB(μk)eβμ k⋅B =∑μkeβμ k⋅B ∑μkB(μk)eβμ k⋅B
所以得证

拓展：如果要求平均值的物理量只与某几个自由参数有关，如之前的 μ \mu μ，那写能量时也只需写与之有关的那部分

2.具体推导

2.1写出粒子与磁矩相关部分的能量

粒子的磁矩为
μ ⃗ = − g J e 2 m e L ⃗ \vec\mu=-g_J\frac{e}{2m_e}\vec L μ =−gJ2meeL
其中 g J g_J gJ为朗德因子，对于自旋磁矩来说等于2。这个最初是由在磁场中的闭合线圈推导而来，而在考虑自旋磁矩时为了与实验相吻合，加入了朗德因子 g J g_J gJ。磁矩在z轴方向的分量为（考虑到 L z = m ℏ , m = 0 , ± 1 , ⋯ , ± J L_z=m\hbar,m=0,\pm1,\cdots ,\pm J Lz=mℏ,m=0,±1,⋯,±J）
μ z = − g J μ B m \mu_z=-g_J\mu_Bm μz=−gJμBm
其中 μ B = e ℏ 2 m e \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e} μB=2meeℏ，为玻尔磁子

外加磁场（磁感应强度为B，且沿着z轴正方向）与磁矩之间的能量为
− μ ⃗ ⋅ B ⃗ = − μ z B z = m g J μ B B -\vec\mu\cdot\vec B=-\mu_zB_z=mg_J\mu_BB −μ ⋅B =−μzBz=mgJμBB

2.2写出配分函数并计算磁化强度和磁化率

Z = ∑ − J J e − β E = ∑ − J J e β μ ⃗ ⋅ B ⃗ = ∑ − J J e − m g J μ B B / k B T = ∑ − J J e − m x = e J x [ 1 − e − x ( 2 J + 1 ) ] 1 − e − x = e ( 2 J + 1 ) x / 2 − e ( − 2 J + 1 ) x / 2 2 e x / 2 − e − x / 2 2 = sinh ⁡ ( ( 2 J + 1 ) x / 2 ) sinh ⁡ ( x / 2 ) \begin{aligned} Z&=\sum_{-J}^{J}e^{-\beta E}=\sum_{-J}^{J}e^{\beta\vec\mu\cdot\vec B}=\sum_{-J}^{J}e^{-mg_J\mu_BB/k_BT}=\sum_{-J}^{J}e^{-mx}\\&=\frac{e^{Jx}[1-e^{-x(2J+1)}]}{1-e^{-x}}=\frac{\frac{e^{(2J+1)x/2}-e^{(-2J+1)x/2}}{2}}{\frac{e^{x/2}-e^{-x/2}}{2}}=\frac{\sinh((2J+1)x/2)}{\sinh(x/2)} \end{aligned} Z=−J∑Je−βE=−J∑Jeβμ ⋅B =−J∑Je−mgJμBB/kBT=−J∑Je−mx=1−e−xeJx[1−e−x(2J+1)]=2ex/2−e−x/22e(2J+1)x/2−e(−2J+1)x/2=sinh(x/2)sinh((2J+1)x/2)
其中 x = g J μ B B / k B T x=g_J\mu_BB/k_BT x=gJμBB/kBT。每个原子的平均磁矩为（垂直磁场方向的磁矩因为随机取向而均值为零，只有z方向因为磁场的缘故而取向不均匀，均值不为零，为了不造成冲突，用1，2，3分别表示想，x，y，z。m只与 μ 3 \mu_3 μ3有关系）
< μ 1 > = ∑ μ 1 , μ 2 , μ 3 μ 1 e − m x ∑ μ 1 , μ 2 , μ 3 e − m x = ∑ μ 1 μ 1 ∑ μ 2 1 ∑ μ 3 e − m x ∑ μ 1 1 ∑ μ 2 1 ∑ μ 3 e − m x = ∑ μ 1 = − J J μ 1 ∑ μ 1 = − J J 1 = 0 < μ 2 > = ∑ μ 2 = − J J μ 2 ∑ μ 2 = − J J 1 = 0 <\mu_1>=\frac{\sum_{\mu_1,\mu_2,\mu_3} \mu_1e^{-mx}}{\sum_{\mu_1,\mu_2,\mu_3} e^{-mx}}=\frac{\sum_{\mu_1}\mu_1\sum_{\mu_2}1\sum_{\mu_3}e^{-mx}}{\sum_{\mu_1}1\sum_{\mu_2}1\sum_{\mu_3}e^{-mx}}=\frac{\sum_{\mu_1=-J}^{J}\mu_1}{\sum_{\mu_1=-J}^{J}1}=0\\ <\mu_2>=\frac{\sum_{\mu_2=-J}^{J}\mu_2}{\sum_{\mu_2=-J}^{J}1}=0 <μ1>=∑μ1,μ2,μ3e−mx∑μ1,μ2,μ3μ1e−mx=∑μ11∑μ21∑μ3e−mx∑μ1μ1∑μ21∑μ3e−mx=∑μ1=−JJ1∑μ1=−JJμ1=0<μ2>=∑μ2=−JJ1∑μ2=−JJμ2=0
所以
< μ > = < μ 3 > = − g J < m > μ B <\mu>=<\mu_3>=-g_J<m>\mu_B <μ>=<μ3>=−gJ<m>μB
而
< m > = ∑ m J e − m x ∑ e − m x = − 1 Z ∂ Z ∂ x = − [ 2 J + 1 2 coth ⁡ ( 2 J + 1 2 x ) − 1 2 coth ⁡ ( 1 2 x ) ] = − J B J ( y ) <m>=\frac{\sum m_Je^{-mx}}{\sum e^{-mx}}=-\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial x}=-[\frac{2J+1}{2}\coth(\frac{2J+1}{2}x)-\frac{1}{2}\coth(\frac{1}{2}x)]=-JB_J(y) <m>=∑e−mx∑mJe−mx=−Z1∂x∂Z=−[22J+1coth(22J+1x)−21coth(21x)]=−JBJ(y)
其中 B J ( y ) = 2 J + 1 2 J coth ⁡ ( 2 J + 1 2 x ) − 1 2 coth ⁡ ( 1 2 x ) B_J(y)=\frac{2J+1}{2J}\coth(\frac{2J+1}{2}x)-\frac{1}{2}\coth(\frac{1}{2}x) BJ(y)=2J2J+1coth(22J+1x)−21coth(21x)，为布里渊函数， y = J x y=Jx y=Jx。假设单位体积内有n个粒子，则磁化强度为（定义为单位体积内的磁矩）
M = n < μ > = − n g J < m > μ B = n g J J μ B B J ( y ) M=n<\mu>=-ng_J<m>\mu_B=ng_JJ\mu_BB_J(y) M=n<μ>=−ngJ<m>μB=ngJJμBBJ(y)

2.2磁化强度

χ = M H = g J J μ B B J ( y ) B / μ 0 \chi=\frac{M}{H}=\frac{g_JJ\mu_BB_J(y)}{B/\mu_0} χ=HM=B/μ0gJJμBBJ(y)

3.一些近似

在高温弱场的情况下，y为小量，可用泰勒展开，取低阶项，而布里渊函数的泰勒展开为
B J ( y ) = J + 1 3 J y − [ ( J + 1 ) 2 + J 2 ] ( J + 1 ) 90 J 3 + ⋯ ≈ J + 1 3 J y B_J(y)=\frac{J+1}{3J}y-\frac{[(J+1)^2+J^2](J+1)}{90J^3}+\cdots\approx\frac{J+1}{3J}y BJ(y)=3JJ+1y−90J3[(J+1)2+J2](J+1)+⋯≈3JJ+1y

所以磁化强度近似为
χ ≈ n μ 0 μ e f f 2 3 k B T \chi\approx\frac{n\mu_0\mu_{eff}^2}{3k_BT} χ≈3kBTnμ0μeff2
其中 μ e f f = g J μ B J ( J + 1 ) \mu_{eff}=g_J\mu_B\sqrt{J(J+1)} μeff=gJμBJ(J+1)

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