表示因果的三种图：DAG, MAG and PAG

1. DAG
2. MAG(maximal ancestral graph)[^1]
- 2.1 Mixed Graphs
- 2.2 Ancestral Graphs
- 2.3 Maximal Ancestral Graphs
- 2.4 DAGs to MAGs
3 PAG
references

注意：本文主要参考 ¹ ²，加入少量个人理解。

1. DAG

Directed acyclic graph，最常见的一种图。一般来说，A→BA\rightarrow BA→B 表示 A是B的原因。

缺陷：
1）在一个带有潜在变量的因果DAG下，干预后的概率是不可识别的；
2）通过观测数据推测DAG往往得到的是markov 等价类。

2. MAG(maximal ancestral graph)¹

^{2.1 Mixed Graphs}

^{A (directed) mixed graph is a graph that may contain two kinds of edges: directed edges (→) and bi-directed edges (↔).}

^{We use the following terminology to describe relations between variables a mixed graph G\mathcal{G}G:}

^{2.2 Ancestral Graphs}

^{definition: A mixed (directed) graph is an ancestral graph if:

(a) there are no directed cycles;

(b) whenever there is an edge X ↔ Y, then there is no directed path from X to Y, or from Y to X.}

^{Fig 2中，Z↔W 还有(Z,X,W)这条有向路径，因此不满足定义。}

^{Collider Paths

Definition

(a) In an ancestral graph, a nonendpoint vertex X on a path is said to be a collider if two arrowheads meet at X

(i.e., → X ←, ↔ X ↔, ↔ X ←. → X ↔).

(b) All other nonendpoint vertices on a path are noncolliders

(i.e., → X →, ← X ←, ← X →, ↔ X →, ← X ↔)

( c )A path along which every nonendpoint is a collider is called a collider path.}

^{m-Connecting Paths

In an ancestral graph, a path π between vertices X and Y is active or m-connecting relative to a (possibly empty) set of vertices Z, with X, Y < Z if

(i) every noncollider on π is not a member of Z;

(ii) every collider on π is an ancestor of some member of Z.

(iii) otherwise, Z blocks π.}

^{Example: For the ancestral graph A → B ↔ C ← D.

The path π1 = (A, B, C, D) is active relative to Z = {B, C}.

The path π1 is not m-connecting relative to Z = ∅, Z = {B} or Z = {C}, i.e., Z = ∅, Z = {B} and Z = {C} blocks π1.}

^{m-Separation

X and Y are said to be m-separated by Z if there is no active path between X and Y relative to Z,

i.e., if Z blocks all paths between X and Y.

Two disjoint sets of variables X and Y are m-separated by Z if every variable in X is m-separated from every variable in Y by Z.}

^{与DAG中的block, desperate 对比,z都是路径上的点

blocked in DAG：

exist a nocollider z in S or exist a collider z (and its descendant) not in S.

m-connect in MAG(命题取反为block):

every nocollider is not in S and every collider is an ancestor of some member of S.}

^{发现两者对block的定义是完全一致的(所谓block就是把点集S conditioning，然后路径两端点是独立的.),只要点集S中存在路径中一个非对撞点或者有个对撞点（和它的后代）没在S中.

大白话再说一遍:

想让路径阻断:c(ondition)住任一非对撞点，或者漏至少一个对撞点没有c住(c它的(部分，不需要全部)后代也可,相当于c了后代,祖先也c住了);

想让路径连通: 不c任何非对撞点，并且还需要把所有的对撞点都c住(c后代亦可).}

^{2.3 Maximal Ancestral Graphs}

^{An ancestral graph G is said to be maximal if, for every pair of nonadjacent vertices (X, Y), there exists a set Z (X, Y not in Z) such that X and Y are m-separated conditional on Z}

^{上面的讨论好像有点错误， Z为空集时，(Y, X,Z,W)应该不是active的。而且路径貌似还需讨论(Y,Z,X,W)。}

^{Maximal ancestral graphs (MAGs) are maximal in the sense that no additional edge may be added to the graph without changing the independence model.}

^{2.4 DAGs to MAGs}

^{原则有二：}

^{判断MAG中两点是否相邻。如果DAG中存在一条inducing path 关于L(潜在变量)，则路径两端的端点在MAG中是相邻的；}
^{判断MAG中相邻两点的方向。如果DAG中X是Y的祖先，则X→YX \rightarrow YX→Y，反之亦然，如果都不是各自祖先，则用双向箭头X↔YX ↔ YX↔Y。}

^{这样构造出的MAG的m-sep情况与原始DAG中的d-sep是一致的。

MAG中的单向箭头依然表示因果方向，而双向箭头表示二者存在confounder。}

^{3 PAG}

^{Partial Ancestral Graph，一般来说，MAG仍然不能完全用观测数据进行构造。就像不同的DAGs可以共享完全相同的d分离特征，从而产生完全相同的条件独立约束，不同的MAGs可以产生完全相同的约束条件，因为共享m分离准则。这被称为马尔可夫等价类。就像DAGs的情况一样，所有的马尔可夫等价MAGs都有相同的邻接并且通常也有一些公共的边方向。例如，上图中的两个MAGs是马尔可夫等价的。²}

PAG代表了一个MAG的等价类，显示类中所有成员共享的所有公共边缘标记，并为那些不共享的标记显示圆圈，上图中两个等价的MAG的PAG如下所示

注意：这里我对G端是一个圈表示疑惑，两个MAG中对应部分都是tail(-)。

references

MAGs ↩︎ ↩︎
Causality 基础概念汇总-知乎 ↩︎ ↩︎

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1. DAG

2. MAG(maximal ancestral graph)¹

^{2.1 Mixed Graphs}

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^{2.3 Maximal Ancestral Graphs}

^{2.4 DAGs to MAGs}

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