优劣解距离法TOPSIS

TOPSIS法是一种综合评价方法，可翻译为理想解排序法或者优劣解距离法。

对于层次分析法，评价对象不能过多，过多会造成RI的变大，判断矩阵和一致矩阵的差异会变大，就不利于一致性检验。

TOPSIS法的步骤如下：

1.确定评价指标

2.评价指标分类

3.统一指标类型

4.计算得分并归一化

1.确定评价指标

可以从题目中的所给信息或者网上自行搜索，把确定好的指标数据列为原始矩阵X。

2.评价指标分类

极大型指标：指标的数值越大越好

极小型指标：指标的数值越小越好

中间型指标：指标的数值越接近某个值越好

区间型指标：指标的数值月接近某个区间越好

3.统一指标类型

对于非极大型指标，我们一般都化为极大型指标处理，我们称这一步为正向化。

对于极小型指标，正向化公式为 $\tilde{xij}$ =max{xi}-xij。（如果所有元素为正数可以使用1/xi）

对于中间型指标，{Xi}为某一个中间型指标序列，变量best为指标中的最佳值，那么正向化公式为

Max=max{|xi-best|}， $1-\frac{|xi-best|}{Max}$

对于区间型指标，[a,b]为其最佳区间，M=max{[a-min{xi},max{xi}-b]}

正向化后还需要对已经正向化后的指标矩阵进行标准化，zij= $xij/\sqrt{\sum_{i=1}^{n}xij^{2}}$ (每个元素除以对于列的平方和开根号)

标准化后我们可以得到标准化矩阵Z。

4.计算各个指标的得分

我们每一项指标都是一列，所以对于一个矩阵Z=[Z1,Z2,Z3,...],对其每一列取最大值ZMAX=max(Z)={max(Z1),max(Z2),max(Z3),...},取最小值

ZMIN=min(Z)={min(Z1),min(Z2),min(Z3),...}

定义与最大值的距离为 $D1=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(ZMAXj-Zij)^{2})}$

与最小值的距离为 $D2=\sqrt{\sum_{j=1}^{n}(ZMINj-Zij)^{2})}$

那么我们定义得分为S1= $\frac{D2}{D1+D2}$

而我们可以注意到现在的得分已经可以计算出来了，而且得分在0-1之间，为使得分更加清晰可见，我们将得分归一化处理，即 $\frac{S1}{ \sum_{i=1}^{n}S1}$ ,这样一来，新得到的得分相加为1，排名更加直观。

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