IOI2017 Day1 Toy Train 题解

传送门

题解

这题思维难度比较大^_

首先，对任意集合SSS，定义函数fA(S)f_A(S)fA(S)为不管B怎样A都能进入SSS的起点的集合，fB(S)f_B(S)fB(S)同理

设充电站集合为RRR，则如果起点在fA(R)f_A(R)fA(R)以外B必胜（即B一定有一种策略使得火车无法进入RRR）

如果fA(R)f_A(R)fA(R)为全集则A赢（不管怎样A总能使火车进入RRR）

如果fA(R)f_A(R)fA(R)不为全集，设XXX为fA(R)f_A(R)fA(R)的补集，则如果起点属于XXX则B必胜

如果起点属于fB(X)f_B(X)fB(X)中B一定可以进入XXX，所以B同样必胜

剩下的节点胜负未定，我们可以抠掉这些B胜的节点，继续判断fA(R)f_A(R)fA(R)是否为全集并重复上述过程，直到fA(R)f_A(R)fA(R)为全集为止，此时剩下的节点就是A必胜的起点

现在问题就是快速求fAf_AfA，fBf_BfB（由于求fAf_AfA的过程和求fBf_BfB的过程相似，所以这里只讨论求fAf_AfA的方法）

由于n≤5000n\le 5000n≤5000，所以可以根据定义直接求fAf_AfA

首先fA(S)f_A(S)fA(S)至少是SSS

每次选一个点，它进入fAf_AfA的条件是：

它由A掌控，并且它至少有一条道路通向SSS
它由B掌控，并且它所有道路全部都通向SSS

具体实现时可以每次在SSS中取出一个尚未取出的节点，并更新每个点是否满足条件。

举个栗子

红色节点属于A，蓝色节点属于B，黄色标记代表这是一个充电车站

首先R={2,9}R=\lbrace2,9\rbraceR={2,9}

按照前面的方法求出fA(R)={2,3,4,5,9}f_A(R)=\lbrace2,3,4,5,9\rbracefA(R)={2,3,4,5,9}

则X=notfA(R)={1,6,7,8}X=notf_A(R)=\lbrace1,6,7,8\rbraceX=notfA(R)={1,6,7,8}

fB(X)={1,2,6,7,8}f_B(X)=\lbrace1,2,6,7,8\rbracefB(X)={1,2,6,7,8}

把{1,2,6,7,8}\lbrace1,2,6,7,8\rbrace{1,2,6,7,8}抠掉，得到{3,4,5,9}\lbrace3,4,5,9\rbrace{3,4,5,9}

用类似的方法，得R={9}R=\lbrace9\rbraceR={9}，fA(R)={3,4,5,9}f_A(R)=\lbrace3,4,5,9\rbracefA(R)={3,4,5,9}为全集

所以得到答案w={0,0,1,1,1,0,0,0,1}w=\lbrace0,0,1,1,1,0,0,0,1\rbracew={0,0,1,1,1,0,0,0,1}

我在交的时候忘删了调试语句，结果调了好久…qwq

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5005;
int n,m,q[N],h,t,vis[N];
vector<int> e[N],e2[N];
vector<int> f(int flag,vector<int> a,vector<int> r,vector<int> res){memset(vis,0,sizeof(vis));vector<int> ans(n),deg(n);t=0,h=-1;for(int i=0;i<n;i++)if(r[i]&&res[i])q[++h]=i,ans[i]=1;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<(int)e[i].size();j++)if(res[e[i][j]]){if(a[i]^flag)deg[i]++;else deg[i]=1;}}while(t<=h){int v=q[t++];for(int i=0;i<(int)e2[v].size();i++){int u=e2[v][i];if(!ans[u]&&res[u]){deg[u]--;if(!deg[u])ans[q[++h]=u]=1;}}}return ans;
}
vector<int> who_wins(vector<int> a,vector<int> r,vector<int> u,vector<int> v){n=a.size(),m=u.size();while(m--)e[u[m]].push_back(v[m]),e2[v[m]].push_back(u[m]);vector<int> ans(n);for(int i=0;i<n;i++)ans[i]=1;while(1){int flag=1;vector<int> res1=f(1,a,r,ans);for(int i=0;i<n;i++)if(ans[i]&&!res1[i])flag=0;if(flag)return ans;for(int i=0;i<n;i++)res1[i]^=1;vector<int> res2=f(0,a,res1,ans);for(int i=0;i<n;i++)if(res2[i])ans[i]=0;}return ans;
}

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