神来之笔之傅里叶变换(Fourier Tranformation)
但是文章在一开始关于钢琴琴谱的例子我曾说过,这个栗子是一个公式错误,但是概念典型的例子。所谓的公式错误在哪里呢?
傅里叶级数的本质是将一个周期的信号分解成无限多分开的(离散的)正弦波,但是宇宙似乎并不是周期的。曾经在学数字信号处理的时候写过一首打油诗:
往昔连续非周期,
回忆周期不连续,
任你 ZT、DFT,
还原不回去。
(请无视我渣一样的文学水平……)
在这个世界上,有的事情一期一会,永不再来,并且时间始终不曾停息地将那些刻骨铭心的往昔连续的标记在时间点上。但是这些事情往往又成为了我们格外宝贵的回忆,在我们大脑里隔一段时间就会周期性的蹦出来一下,可惜这些回忆都是零散的片段,往往只有最幸福的回忆,而平淡的回忆则逐渐被我们忘却。因为,往昔是一个连续的非周期信号,而回忆是一个周期离散信号。
是否有一种数学工具将连续非周期信号变换为周期离散信号呢?抱歉,真没有。
比如傅里叶级数,在时域是一个周期且连续的函数,而在频域是一个非周期离散的函数。这句话比较绕嘴,实在看着费事可以干脆回忆第一章的图片。
而在我们接下去要讲的傅里叶变换,则是将一个时域非周期的连续信号,转换为一个在频域非周期的连续信号。
算了,还是上一张图方便大家理解吧:
或者我们也可以换一个角度理解:傅里叶变换实际上是对一个周期无限大的函数进行傅里叶变换。
所以说,钢琴谱其实并非一个连续的频谱,而是很多在时间上离散的频率,但是这样的一个贴切的比喻真的是很难找出第二个来了。
因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢?
你见过大海么?
为了方便大家对比,我们这次从另一个角度来看频谱,还是傅里叶级数中用到最多的那幅图,我们从频率较高的方向看。
以上是离散谱,那么连续谱是什么样子呢?
尽情的发挥你的想象,想象这些离散的正弦波离得越来越近,逐渐变得连续……
直到变得像波涛起伏的大海:
很抱歉,为了能让这些波浪更清晰的看到,我没有选用正确的计算参数,而是选择了一些让图片更美观的参数,不然这图看起来就像屎一样了。
不过通过这样两幅图去比较,大家应该可以理解如何从离散谱变成了连续谱的了吧?原来离散谱的叠加,变成了连续谱的累积。所以在计算上也从求和符号变成了积分符号。
不过,这个故事还没有讲完,接下去,我保证让你看到一幅比上图更美丽壮观的图片,但是这里需要介绍到一个数学工具才能然故事继续,这个工具就是——
五、宇宙耍帅第一公式:欧拉公式
虚数i这个概念大家在高中就接触过,但那时我们只知道它是-1 的平方根,可是它真正的意义是什么呢?
这里有一条数轴,在数轴上有一个红色的线段,它的长度是1。当它乘以 3 的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段,而当它乘以-1 的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了 180 度。
我们知道乘-1 其实就是乘了两次 i 使线段旋转了 180 度,那么乘一次 i 呢——答案很简单——旋转了 90 度。
同时,我们获得了一个垂直的虚数轴。实数轴与虚数轴共同构成了一个复数的平面,也称复平面。这样我们就了解到,乘虚数i的一个功能——旋转。
现在,就有请宇宙第一耍帅公式欧拉公式隆重登场——
这个公式在数学领域的意义要远大于傅里叶分析,但是乘它为宇宙第一耍帅公式是因为它的特殊形式——当x等于 Pi 的时候。
经常有理工科的学生为了跟妹子表现自己的学术功底,用这个公式来给妹子解释数学之美:”石榴姐你看,这个公式里既有自然底数e,自然数 1 和0,虚数i还有圆周率 pi,它是这么简洁,这么美丽啊!“但是姑娘们心里往往只有一句话:”臭屌丝……“
这个公式关键的作用,是将正弦波统一成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义:
欧拉公式所描绘的,是一个随着时间变化,在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。
关于复数更深的理解,大家可以参考:
复数的物理意义是什么?
这里不需要讲的太复杂,足够让大家理解后面的内容就可以了。
六、指数形式的傅里叶变换
有了欧拉公式的帮助,我们便知道:正弦波的叠加,也可以理解为螺旋线的叠加在实数空间的投影。而螺旋线的叠加如果用一个形象的栗子来理解是什么呢?
光波
高中时我们就学过,自然光是由不同颜色的光叠加而成的,而最著名的实验就是牛顿师傅的三棱镜实验:
所以其实我们在很早就接触到了光的频谱,只是并没有了解频谱更重要的意义。
但不同的是,傅里叶变换出来的频谱不仅仅是可见光这样频率范围有限的叠加,而是频率从 0 到无穷所有频率的组合。
这里,我们可以用两种方法来理解正弦波:
第一种前面已经讲过了,就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解:
将以上两式相加再除2,得到:
这个式子可以怎么理解呢?
我们刚才讲过,e^(it)可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线,那么e^(-it)则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 cos (t)则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的一半,因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了!
举个例子的话,就是极化方向不同的两束光波,磁场抵消,电场加倍。
这里,逆时针旋转的我们称为正频率,而顺时针旋转的我们称为负频率(注意不是复频率)。
好了,刚才我们已经看到了大海——连续的傅里叶变换频谱,现在想一想,连续的螺旋线会是什么样子:
想象一下再往下翻:
是不是很漂亮?
你猜猜,这个图形在时域是什么样子?
哈哈,是不是觉得被狠狠扇了一个耳光。数学就是这么一个把简单的问题搞得很复杂的东西。
顺便说一句,那个像大海螺一样的图,为了方便观看,我仅仅展示了其中正频率的部分,负频率的部分没有显示出来。
如果你认真去看,海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的,每一条螺旋线都有着不同的振幅(旋转半径),频率(旋转周期)以及相位。而将所有螺旋线连成平面,就是这幅海螺图了。
好了,讲到这里,相信大家对傅里叶变换以及傅里叶级数都有了一个形象的理解了,我们最后用一张图来总结一下:
神来之笔之傅里叶变换(Fourier Tranformation)相关推荐
- Python+OpenCV:傅里叶变换(Fourier Transform)
Python+OpenCV:傅里叶变换(Fourier Transform) ############################################################# ...
- [Matlab-3]傅里叶变换(Fourier Transformation)
[Matlab-3]傅里叶变换[Fourier Transformation] 连续的傅里叶变换(C.T) 离散的傅里叶变换(D.T) 符号法下的傅里叶变换与傅里叶逆变换 快速傅里叶变换 数值法 获取 ...
- 数字图像的傅里叶变换(Fourier Transform)及其展示: 频率中心化
本文通过理论和MATLAB实际例子验证如下结论: 1. 大部分图片的有效信息集中在低频部分: 2. 图像傅里叶变换后低频在四周.高频在中心: 3. 图像经过傅里叶变换.频率中心化后能够容易地复原: 从 ...
- 神来之笔之傅里叶变换(相位谱)
用途,先说一个最直接的用途,无论听广播还是看电视,我们一定对一个词不陌生--频道.频道频道,就是频率的通道,不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输.下面大家尝试一件事: 先在纸上画一个s ...
- 傅里叶变换之看不懂就掐死我教程
原文出处: 韩昊 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作 者:韩 昊 知 乎:Heinrich 微 博:@花生油工人 知乎专栏:与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事大学的吴楠老师,柳晓鸣老师, ...
- 深入浅出的讲解傅里叶变换(完整)
原文出处: 韩昊 我保证这篇文章和你以前看过的所有文章都不同,这是 2012 年还在果壳的时候写的,但是当时没有来得及写完就出国了--于是拖了两年,嗯,我是拖延症患者-- 这篇文章的核心思想就是: 要 ...
- CV:深入浅出的讲解傅里叶变换(真正的通俗易懂)
这是一篇很NB的文章,图文并茂............... 另外这个回答比较好:能不能通俗地讲解傅里叶和小波分析的关系? 第二个妹子头像的回答 两句话: 傅里叶变换:知道一段时间内,信号的各个频率分 ...
- 傅里叶变换 【完整版】
原文出处: 韩昊 欢迎分享原创到伯乐头条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作 者:韩 昊 知 乎:Heinrich 微 博:@花生油工人 知乎专栏:与时间无关的故事 谨以此文献给大连海事 ...
- 如果看了此文你还不懂傅里叶变换,那就过来掐死我吧【完整版】(ZZ伯乐在线)...
http://blog.jobbole.com/70549/ 原文出处: 韩昊 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 作 者:韩 昊 知 乎:Heinrich 微 博:@花生油工人 知乎专栏:与时 ...
- 傅里叶变换的终极解释下
下面继续开始我们无节操的旅程: 上次的关键词是:从侧面看.这次的关键词是:从下面看. 在第二课最开始,我想先回答很多人的一个问题:傅里叶分析究竟是干什么用的?这段相对比较枯燥,已经知道了的同学可以直接 ...
最新文章
- python比赛2020_2020蓝桥杯python组备战方法
- Java笔试题解答和部分面试题
- Python问题记录:如何处理中文网页中的多余空格
- java osg_java,osg学习心得
- c语言 sqrt求100以内素数,C语言实现判断一个数是否为素数并求100以内的所有素数...
- 解决关闭hbase时stop-hbase.sh报错stopping hbasecat: /tmp/hbase-xxxx-master.pid: No such file or directory
- 人民币金额小写转大写
- 百度通用文字识别离线SDK部署(c#)
- 一款基于tampermonkey的浏览器插件:聚合搜索
- 《计算机网络自顶向下》笔记
- 《山里的日子(记录片)》观后感——回不去的农村
- # 技术栈知识点巩固——Js
- 在线协作编辑器EtherPad使用说明
- 科林明伦杯”哈尔滨理工大学第十届程序设计竞赛(同步赛)
- Oracle数据库实验四查询实验三(Oracle 11g)
- 【raspberrypi】树莓派官方7寸屏入门指南
- CPU个数,核心数,线程数
- 雅思听力数字日期归纳总结
- 中国互联网量级分化严重:小米将360踢出第二阵营
- MLAT-Autoencoders---下篇-关键代码及结果展示(1)
热门文章
- oracle 包头 和 包体,PL/SQL 包头和包体
- $.ajax返回报错,请求ajax报错 返回readyState0
- 最新狂雨小说CmsV1.5.2漂亮的小说网站源码
- 第一讲_SQP添加与查询语句
- 微信公众号工作中如何产生新媒体思维
- python语言说句心里话歌词_python数据分析:民谣歌词汇总,告诉你他们到底在唱什么...
- 软件开发岗位职责描述
- 终于找到了!AI学习路线图——从零基础到就业
- php模拟登陆青果教务系统
- Git介绍、安装、环境配置及常用的Git命令