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1、判断以下命题的真假并给出你的理由：
- (1) 完全图 Kn(n ≥ 3) 是欧拉图。
- (2) n(n ≥ 2) 阶有向完全图是欧拉图。
- (3) 当 r, s 为正偶数时，完全二部图 Kr,s 是欧拉图。
2、设 G 是非平凡的欧拉图，证明 λ(G) ≥ 2。
3、设 G 是无向连通图。证明：若 G 中有桥或者割点，则 G 不是哈密顿图。
4、Peterson 图（如下）既不是欧拉图也不是哈密顿图。
- (1) 如何增加最少的边使其成为欧拉图。
- (2) 如何增加最少的边使其成为哈密顿图。
5、设 G 为 n(n ≥ 3) 阶无向简单图，边数m =1/2(n − 1)(n − 2) + 2；证明：G 是哈密顿图。

1、判断以下命题的真假并给出你的理由：

(1) 完全图 Kn(n ≥ 3) 是欧拉图。

解答：
假命题，完全图Kn每个顶点的度数为n-1，当n为偶数的时候，Kn存在奇度顶点，所以Kn不一定是欧拉图。

(2) n(n ≥ 2) 阶有向完全图是欧拉图。

解答：
真命题，因为有向完全图的每个顶点都与其他n-1个顶点连接，因此每个顶点的入度等于出度，且强连通，因此n阶有向完全图是欧拉图。

(3) 当 r, s 为正偶数时，完全二部图 Kr,s 是欧拉图。

解答：
真命题，当r，s为正偶数时，每个顶点的度数都为偶数，且Kr，s连通，所以是欧拉图。

2、设 G 是非平凡的欧拉图，证明 λ(G) ≥ 2。

解答：
因为G是非平凡的欧拉图，所以没有奇度顶点，所以度数至少为2，所以边割集至少含两个元素，得λ(G) ≥ 2。

3、设 G 是无向连通图。证明：若 G 中有桥或者割点，则 G 不是哈密顿图。

解答：
当G中有桥或者割点的时候，存在d(u)+d(v)<n的情况，所以G不是哈密顿图。

4、Peterson 图（如下）既不是欧拉图也不是哈密顿图。

(1) 如何增加最少的边使其成为欧拉图。

解答：
如下图所示：

(2) 如何增加最少的边使其成为哈密顿图。

解答：
如下图所示：

5、设 G 为 n(n ≥ 3) 阶无向简单图，边数m =1/2(n − 1)(n − 2) + 2；证明：G 是哈密顿图。

解答：
边数m=1/2(n-1)(n-2)+2，所以度数和为2m=(n-1)(n-2)+4，去掉两个不相邻的顶点u，v，无向完全图的度数为(n-2)(n-3)/2，所以具有n-2个顶点的无向图的最大度数为(n-2)(n-3)，所以与u，v相关的边的度数之和大于等于(n-1)(n-2)+4-(n-2)(n-3)=2n，d(u)+d(v)>=n，所以G是哈密顿图。

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2、设 G 是非平凡的欧拉图，证明 λ(G) ≥ 2。

3、设 G 是无向连通图。证明：若 G 中有桥或者割点，则 G 不是哈密顿图。

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2、设 G 是非平凡的欧拉图，证明 λ(G) ≥ 2。

3、设 G 是无向连通图。证明：若 G 中有桥或者割点，则 G 不是哈密顿图。

4、Peterson 图（如下）既不是欧拉图也不是哈密顿图。

(1) 如何增加最少的边使其成为欧拉图。

(2) 如何增加最少的边使其成为哈密顿图。

5、 设 G 为 n(n ≥ 3) 阶无向简单图，边数m =1/2(n − 1)(n − 2) + 2；证明：G 是哈密顿图。

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