问题描述

如图所示,在A处有一水库,现需要从A点铺设一条管道到E点,边上的数字表示与其相连的两个地点之间所需修建的管道长度用c数组表示, 例如c(A,B1)=2。现要找出一条从A到E的修建线路,使得所需修建的管道长度最短。

求解思路

对于有k个阶段的动态规划问题,从第k阶段到第1阶段的求解过程称为逆序解法,从第1阶段到第k阶段的求解过程称为顺序解法。

动态规划逆序解法

给出图的状态转移方程f(s)的递推顺序是从后向前,即E-→A,对应逆序解法。

用next表示路径.上一个顶点的后继顶点,其求解A到E最短路径的过程如下

逆序实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 21
int n=10;
int c[MAX][MAX];
int pre[MAX];
int dp[MAX];void Init(){    memset(c,0,sizeof(c));memset(dp,0,sizeof(dp));memset(pre,0,sizeof(pre));for(int j=0;j<n;j++){c[j][j]=0;}c[0][1]=2;c[0][2]=4;c[0][3]=3;c[1][4]=7;c[1][5]=4;c[2][4]=3;c[2][5]=2;c[2][6]=4;c[3][4]=6;c[3][5]=2;c[3][6]=5;c[4][7]=3;c[4][8]=4;c[5][7]=6;c[5][8]=3;c[6][7]=3;c[6][8]=3;c[7][9]=3;c[8][9]=4;
} int main() {Init();for(int i=n-2;i>=0;i--){dp[i]=INF;for(int j=i;j<n;j++){if(c[i][j]!=0){if(c[i][j]+dp[j]<dp[i]){                    pre[i]=j;dp[i]=c[i][j]+dp[j];                    } }}}cout<<dp[0]<<endl;cout<<"最短路径为"<<endl;int i=0;cout<<"0-->";while(true){cout<<pre[i];i=pre[i];if(i==9)break;cout<<"-->"; }return 0;
}

动态规划逆序解法

对于图8. 4,顺序解法是从源点出发,求出到达当前状态的最短路径,再考虑下一个阶段,直到终点E。对应的状态转移方程如下:

pre 表示路径，上一个顶点的前驱顶点,其求解 A到E最短路径的过程如下。

顺序实现代码

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3fint main() {int n=10,k=1,j=1;int c[n][n];int pre[n];int dp[n];memset(c,0,sizeof(c));memset(dp,0,sizeof(dp));memset(pre,0,sizeof(pre));int cost=0;dp[0]=0;c[0][1]=2;c[0][2]=4;c[0][3]=3;c[1][4]=7;c[1][5]=4;c[2][4]=3;c[2][5]=2;c[2][6]=4;c[3][4]=6;c[3][5]=2;c[3][6]=5;c[4][7]=3;c[4][8]=4;c[5][7]=6;c[5][8]=3;c[6][7]=3;c[6][8]=3;c[7][9]=3;c[8][9]=4;   for(k=1;k<n;k++){//先算和0连着的3个点，不用比大小，所以可以先算 if(c[0][k]!=0){dp[k]=dp[0]+c[0][k];}else{break;}}int mini;//记录最小点的序号 for(j=k;j<n;j++){int mincost=INF;//记录最短距离 for(int i=1;i<n;i++){if(c[i][j]!=0){cost=dp[i]+c[i][j];//计算每两个链接点的距离 if(mincost>cost){//替换最小距离 mincost=cost;mini=i;}}}dp[j]=mincost;//记录到节点j的最小距离 pre[j]=mini;//记录到节点j最近的点 }cout<<dp[9]<<endl;int i=9;cout<<"9<--";while(true){     cout<<pre[i];i=pre[i];if(i==0)break;cout<<"<--"; }return 0;
}

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