连续非线性系统线性化理论

在工程领域的被控对象常常是非线性的动力系统。对非线性控制系统 x ˙ = f ( x , t ) \dot{x}=f(x,t) x˙=f(x,t)的稳定性分析，常常需要将非线性系统线性化成线性系统 x ˙ = A ( t ) x \dot x = A(t)x x˙=A(t)x后，对线性系统设计的控制器放在非线性系统上，达到合适的控制效果。而实际上，这样的线性化后的系统的稳定性常常无法代替原非线性系统的稳定性。只有在满足一定的条件下时，上述二者才可以划等号。本篇博客重点研究上述非线性系统可线性化的条件（即使得线性化后的系统 x ˙ = A ( t ) x \dot x = A(t)x x˙=A(t)x的稳定性能代替原系统 x ˙ = f ( x , t ) \dot{x}=f(x,t) x˙=f(x,t)的稳定性）。

1.非线性系统的线性化条件

1.1 线性化定理

定理对于非线性系统 x ˙ = f ( x , t ) , f ( 0 , t ) = 0 \dot {\mathbf{x}} = \mathbf f(\mathbf{x},t),\mathbf f(\mathbf 0,t) = \mathbf 0 x˙=f(x,t),f(0,t)=0， f ( x , t ) \mathbf f(\mathbf{x},t) f(x,t)对变量 x \mathbf{x} x连续可微， A ( t ) = [ ∂ f ( x , t ) ∂ x ] x = 0 A(t)=[\frac{\partial \mathbf{f(\mathbf{x},t)} }{\partial \mathbf{x}}]_{ \mathbf{x} = \mathbf{0}} A(t)=[∂x∂f(x,t)]x=0。当满足以下条件时，若线性时变系统 z ˙ ( t ) = A ( t ) z ( t ) \dot z(t)=A(t)z(t) z˙(t)=A(t)z(t)在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)内一致渐进稳定，则原非线性系统在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)内同样一致渐进稳定。

（1） A ( t ) A(t) A(t)有界，即：
A ( t ) < + ∞ , ∀ t ≥ 0 A(t)<+\infty,\forall t \geq 0 A(t)<+∞,∀t≥0
（2）令 ψ ( x , t ) = f ( x , t ) − A ( t ) x \psi(\mathbf{x},t)=\mathbf{f}(\mathbf{x},t)-A(t)\mathbf{x} ψ(x,t)=f(x,t)−A(t)x,有：

lim ⁡ ∣ ∣ x ∣ ∣ → 0 sup ⁡ t ≥ 0 ∣ ∣ ψ ( x , t ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ = lim ⁡ ∣ ∣ x ∣ ∣ → 0 sup ⁡ t ≥ 0 ∣ ∣ f ( x , t ) − [ ∂ f ( x , t ) ∂ x ] x = 0 x ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 \lim_{||\mathbf{x}||\rightarrow 0}\sup_{t \geq 0}\frac{||\psi(\mathbf{x},t)||}{||\mathbf{x}||}=\lim_{||\mathbf{x}||\rightarrow 0}\sup_{t \geq 0}\frac{||\mathbf{f}(\mathbf{x},t)-[\frac{\partial \mathbf{f(\mathbf{x},t)} }{\partial \mathbf{x}}]_{ \mathbf{x} = \mathbf{0}}\mathbf{x}||}{||\mathbf{x}||}=0 ∣∣x∣∣→0limt≥0sup∣∣x∣∣∣∣ψ(x,t)∣∣=∣∣x∣∣→0limt≥0sup∣∣x∣∣∣∣f(x,t)−[∂x∂f(x,t)]x=0x∣∣=0

1.2 预备引理

为了证明上述定理，需要以下引理：

引理1 对于线性时变系统
x ˙ = A ( t ) x , x ( t 0 ) = x 0 , ∀ t ≥ t 0 \dot{\mathbf{x}} = A(t)\mathbf{x} ,\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,\forall t \geq t_0 x˙=A(t)x,x(t0)=x0,∀t≥t0
该系统是一致渐进稳定的，当且仅当它是指数稳定的。设该系统的状态转移矩阵为 Φ ( t , t 0 ) \Phi(t,t_0) Φ(t,t0),则该系统一致渐进稳定的充要条件是存在与 t 0 t_0 t0无关的常数 k 1 , k 2 k_1,k_2 k1,k2使得：
∣ ∣ Φ ( t , t 0 ) ∣ ∣ ≤ k 1 e − k 2 ( t − t 0 ) , ∀ t ≥ t 0 ||\Phi(t,t_0)||\leq k_1e^{-k_2(t-t_0)},\forall t \geq t_0 ∣∣Φ(t,t0)∣∣≤k1e−k2(t−t0),∀t≥t0
证明：充分性证明略。现证明必要性，若原线性时变系统一致渐进稳定，则 ∀ x 0 \forall \mathbf{x}_0 ∀x0，解 Φ ( t , t 0 ) x 0 \Phi(t,t_0)\mathbf{x}_0 Φ(t,t0)x0是一致收敛的，从而存在与时刻 t 0 t_0 t0无关的常数 T T T使：
∣ ∣ Φ ( t 0 + T , t 0 ) ∣ ∣ ≤ 1 2 ||\Phi(t_0+T,t_0)||\leq\frac{1}{2} ∣∣Φ(t0+T,t0)∣∣≤21
由于 ∣ ∣ Φ ( t , t 0 ) ∣ ∣ ||\Phi(t,t_0)|| ∣∣Φ(t,t0)∣∣一致有界，则存在与时间 t 0 t_0 t0无关的正常数 k 3 > 0 k_3>0 k3>0使得：
∣ ∣ Φ ( t , t 0 ) ∣ ∣ ≤ k 3 , ∀ t ≥ t 0 ||\Phi(t,t_0)||\leq k_3,\forall t \geq t_0 ∣∣Φ(t,t0)∣∣≤k3,∀t≥t0
由此可知：

使得 ∣ ∣ Φ ( t , t 0 ) ∣ ∣ ≤ k 1 e − k 2 ( t − t 0 ) , ∀ t ≥ t 0 ||\Phi(t,t_0)||\leq k_1e^{-k_2(t-t_0)},\forall t \geq t_0 ∣∣Φ(t,t0)∣∣≤k1e−k2(t−t0),∀t≥t0，证毕。

上述证明说明了线性时变系统的一致渐进稳定与指数稳定是等价的。

引理2 对于线性时变系统
x ˙ = A ( t ) x , x ( t 0 ) = x 0 , ∀ t ≥ t 0 \dot{\mathbf{x}} = A(t)\mathbf{x} ,\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,\forall t \geq t_0 x˙=A(t)x,x(t0)=x0,∀t≥t0
若 A ( t ) A(t) A(t)分段连续且一致有界。则此系统一致渐进稳定当且仅当对于任意给定的一致正定和一致有界矩阵 Q ( t ) : [ t 0 , ∞ ) → R n × n Q(t):[t_0,\infty)\rightarrow R^{n \times n} Q(t):[t0,∞)→Rn×n,对于以下的 L y a p u n o v Lyapunov Lyapunov微分方程：
P ˙ ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) = − Q ( t ) , ∀ t ≥ t 0 \dot{P}(t)+A^T(t)P(t)+P(t)A(t)=-Q(t),\forall t \geq t_0 P˙(t)+AT(t)P(t)+P(t)A(t)=−Q(t),∀t≥t0
有唯一的一致正定和一致有界的解 P ( t ) , t ≥ t 0 P(t),t\geq t_0 P(t),t≥t0，且 P ( t ) P(t) P(t)可以写成如下形式：
P ( t ) = ∫ t + ∞ Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) d s P(t)=\int_t^{+\infty}\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)ds P(t)=∫t+∞ΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)ds
其中 Φ ( s , t ) \Phi(s,t) Φ(s,t)是线性时变系统的状态转移矩阵。

其中对于一致正定和一致有界的定义为：

设 P ( t ) : [ t 0 , + ∞ ) → R n × n P(t):[t_0,+\infty)\rightarrow R^{n \times n} P(t):[t0,+∞)→Rn×n是一个分段连续的对称矩阵，若存在两个正常数 α 1 \alpha_1 α1和 α 2 \alpha_2 α2使得：
α 1 I n ≤ P ( t ) ≤ α 2 I n , ∀ t ≥ t 0 \alpha_1I_n\leq P(t) \leq \alpha_2 I_n,\forall t \geq t_0 α1In≤P(t)≤α2In,∀t≥t0
则 P ( t ) P(t) P(t)是一致正定和一致有界的。

证明充分性易证明，构造Lyapunov函数 V ( x , t ) = x T P ( t ) x V(\mathbf{x},t)=\mathbf{x}^TP(t)\mathbf{x} V(x,t)=xTP(t)x即可。下面证明其必要性：

设 β 1 I n ≤ Q ( t ) ≤ β 2 I n \beta_1I_n\leq Q(t) \leq\beta_2I_n β1In≤Q(t)≤β2In，必要性分为以下两部分进行证明：

（a）证明存在唯一的 P ( t ) = ∫ t + ∞ Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) d s P(t)=\int_t^{+\infty}\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)ds P(t)=∫t+∞ΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)ds满足 L y a p u n o v Lyapunov Lyapunov微分方程：
P ˙ ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) = − Q ( t ) , ∀ t ≥ t 0 \dot{P}(t)+A^T(t)P(t)+P(t)A(t)=-Q(t),\forall t \geq t_0 P˙(t)+AT(t)P(t)+P(t)A(t)=−Q(t),∀t≥t0
（b）证明（a）中的 P ( t ) P(t) P(t)一致正定且一致有界。

首先证明（a）：由于原线性时变系统 x ˙ = A ( t ) x , x ( t 0 ) = x 0 , ∀ t ≥ t 0 \dot{\mathbf{x}} = A(t)\mathbf{x} ,\mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0,\forall t \geq t_0 x˙=A(t)x,x(t0)=x0,∀t≥t0一致渐进稳定，由引理1可知其必然指数稳定，因此 ∃ k 1 , k 2 > 0 \exists k_1,k_2 >0 ∃k1,k2>0，使得：
∣ ∣ Φ ( s , t ) ∣ ∣ < k 1 e − k 2 ( s − t ) , ∀ s > t ||\Phi(s,t)||<k_1e^{-k_2(s-t)},\forall s > t ∣∣Φ(s,t)∣∣<k1e−k2(s−t),∀s>t
（i）先证明 P ( t ) P(t) P(t)存在且有界。有 P ( t ) P(t) P(t)满足：
0 ≤ P ( t ) = ∫ t + ∞ Φ ( s , t ) T Q ( s ) Φ ( s , t ) d s ≤ ( ∫ t + ∞ ∣ ∣ Φ ( s , t ) T ∣ ∣ ∣ ∣ Q ( s ) ∣ ∣ ∣ ∣ Φ ( s , t ) ∣ ∣ d s ) I n ≤ ( β 2 ∫ t + ∞ k 1 2 e − 2 k 2 ( s − t ) d s ) I n = β 2 k 1 2 2 k 2 I n 0\leq P(t)=\int_t^{+\infty}\Phi(s,t)^TQ(s)\Phi(s,t)ds\\\leq(\int_t^{+\infty}||\Phi(s,t)^T||||Q(s)||||\Phi(s,t)||ds)I_n\\ \leq (\beta_2\int_t^{+\infty}k_1^2e^{-2k_2(s-t)}ds)I_n=\frac{\beta_2k_1^2}{2k_2}I_n 0≤P(t)=∫t+∞Φ(s,t)TQ(s)Φ(s,t)ds≤(∫t+∞∣∣Φ(s,t)T∣∣∣∣Q(s)∣∣∣∣Φ(s,t)∣∣ds)In≤(β2∫t+∞k12e−2k2(s−t)ds)In=2k2β2k12In
上式说明 P ( t ) P(t) P(t)存在且有界。

（ii）再证明 P ( t ) P(t) P(t)满足 L y a p u n o v Lyapunov Lyapunov微分方程。
P ˙ ( t ) = lim ⁡ s → ∞ Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) − Φ T ( t , t ) Q ( t ) Φ ( t , t ) + ∫ t ∞ d d t ( Φ ( s , t ) T Q ( s ) Φ ( s , t ) ) d s = − Q ( t ) + ∫ t ∞ d d t ( Φ ( s , t ) T ) Q ( s ) Φ ( s , t ) d s + ∫ t ∞ Φ ( s , t ) T Q ( s ) d d t Φ ( s , t ) d s = − Q ( t ) − ∫ t ∞ A ( t ) T Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) d s − ∫ t ∞ Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) A ( t ) d s = − Q ( t ) − A ( t ) T P ( t ) − P ( t ) A ( t ) \dot{P}(t)=\lim_{s\rightarrow \infty} \Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)-\Phi^T(t,t)Q(t)\Phi(t,t)+\int_{t}^{\infty}\frac{d}{dt}(\Phi(s,t)^TQ(s)\Phi(s,t))ds\\ =-Q(t)+\int_{t}^{\infty}\frac{d}{dt}(\Phi(s,t)^T)Q(s)\Phi(s,t)ds+\int_{t}^{\infty}\Phi(s,t)^TQ(s)\frac{d}{dt} \Phi(s,t)ds\\=-Q(t)-\int_t^{\infty}A(t)^T\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)ds-\int_t^{\infty}\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)A(t)ds\\=-Q(t)-A(t)^TP(t)-P(t)A(t) P˙(t)=s→∞limΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)−ΦT(t,t)Q(t)Φ(t,t)+∫t∞dtd(Φ(s,t)TQ(s)Φ(s,t))ds=−Q(t)+∫t∞dtd(Φ(s,t)T)Q(s)Φ(s,t)ds+∫t∞Φ(s,t)TQ(s)dtdΦ(s,t)ds=−Q(t)−∫t∞A(t)TΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)ds−∫t∞ΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)A(t)ds=−Q(t)−A(t)TP(t)−P(t)A(t)

推导的第一步是因为：

（iii）再证满足（i）（ii）的 P ( t ) P(t) P(t)唯一：

设存在另一个 P ′ ( t ) P^{'}(t) P′(t)同样是 L y a p u n o v Lyapunov Lyapunov微分方程的一个解，即满足：
P ′ ˙ ( t ) + A T ( t ) P ′ ( t ) + P ′ ( t ) A ( t ) = − Q ( t ) , ∀ t ≥ t 0 \dot{P^{'}}(t)+A^T(t)P^{'}(t)+P^{'}(t)A(t)=-Q(t),\forall t \geq t_0 P′˙(t)+AT(t)P′(t)+P′(t)A(t)=−Q(t),∀t≥t0
则有:
P ( t ) = ∫ t + ∞ Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) d s = − ∫ t + ∞ Φ T ( s , t ) ( P ′ ˙ ( t ) + A T ( t ) P ′ ( t ) + P ′ ( t ) A ( t ) ) Φ ( s , t ) d s = − ∫ t + ∞ d d t ( Φ T ( s , t ) P ′ ( t ) Φ ( s , t ) ) d s = P ′ ( t ) P(t)=\int_t^{+\infty}\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)ds\\=-\int_t^{+\infty}\Phi^T(s,t)(\dot{P^{'}}(t)+A^T(t)P^{'}(t)+P^{'}(t)A(t))\Phi(s,t)ds\\=-\int_t^{+\infty}\frac{d}{dt}(\Phi^T(s,t)P^{'}(t)\Phi(s,t))ds\\=P^{'}(t) P(t)=∫t+∞ΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)ds=−∫t+∞ΦT(s,t)(P′˙(t)+AT(t)P′(t)+P′(t)A(t))Φ(s,t)ds=−∫t+∞dtd(ΦT(s,t)P′(t)Φ(s,t))ds=P′(t)
再证明（b）： P ( t ) P(t) P(t)一致正定且有界。由（a）-（i）中的证明可知 P ( t ) P(t) P(t)有上界：
P ( t ) ≤ β 2 k 1 2 2 k 2 I n P(t)\leq\frac{\beta_2k_1^2}{2k_2} I_n P(t)≤2k2β2k12In
现证明 P ( t ) P(t) P(t)存在下界，由于 A ( t ) A(t) A(t)有界，所以设 ∣ ∣ A ( t ) ∣ ∣ ≤ c ||A(t)||\leq c ∣∣A(t)∣∣≤c。 ∀ s ≥ t \forall s \geq t ∀s≥t有：

令 0 < s − t < σ 0<s-t<\sigma 0<s−t<σ,且满足 1 − e − k 2 ( s − t ) < 1 2 k 2 c k 1 1-e^{-k_2(s-t)}<\frac{1}{2}\frac{k_2}{ck_1} 1−e−k2(s−t)<21ck1k2即：
σ = − ln ⁡ ( 1 − k 2 2 c k 1 ) k 2 \sigma=-\frac{\ln(1-\frac{k_2}{2ck_1})}{k_2} σ=−k2ln(1−2ck1k2)
时有： ∣ ∣ Φ ( s , t ) x 0 − x 0 ∣ ∣ ≤ 1 2 ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ , ∀ s ∈ [ t , t + σ ] ||\Phi(s,t)\mathbf{x_0}-\mathbf{x_0}||\leq \frac{1}{2}||\mathbf x_0||,\forall s \in [t,t+\sigma] ∣∣Φ(s,t)x0−x0∣∣≤21∣∣x0∣∣,∀s∈[t,t+σ]。从而有：
∣ ∣ Φ ( s , t ) x 0 ∣ ∣ ≥ ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ − ∣ ∣ Φ ( s , t ) x 0 − x 0 ∣ ∣ ≥ 1 2 ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ , ∀ s ∈ [ t , t + σ ] ||\Phi(s,t)\mathbf{x_0}||\geq ||\mathbf{x_0}||-||\Phi(s,t)\mathbf{x_0}-\mathbf{x_0}||\\ \geq\frac{1}{2}||\mathbf{x_0}||,\forall s \in [t,t+\sigma] ∣∣Φ(s,t)x0∣∣≥∣∣x0∣∣−∣∣Φ(s,t)x0−x0∣∣≥21∣∣x0∣∣,∀s∈[t,t+σ]
则有：
x 0 T P ( t ) x 0 ≥ ∫ t t + σ x 0 T Φ T ( s , t ) Q ( s ) Φ ( s , t ) x 0 d s ≥ β 1 ∫ t t + σ x 0 T Φ T ( s , t ) Φ ( s , t ) x 0 d s ≥ β 1 ∫ t t + σ ∣ ∣ Φ ( s , t ) x 0 ∣ ∣ 2 d s ≥ β 1 σ 2 2 ∣ ∣ x 0 ∣ ∣ 2 \mathbf{x}_0^TP(t)\mathbf{x}_0\geq \int_t^{t+\sigma}\mathbf{x}_0^T\Phi^T(s,t)Q(s)\Phi(s,t)\mathbf{x}_0ds\\\geq \beta_1\int_t^{t+\sigma}\mathbf{x}_0^T\Phi^T(s,t)\Phi(s,t)\mathbf{x}_0ds\\ \geq \beta_1 \int_t^{t+\sigma}||\Phi(s,t)\mathbf{x}_0||^2ds\\ \geq\frac{\beta_1\sigma^2}{2}||x_0||^2 x0TP(t)x0≥∫tt+σx0TΦT(s,t)Q(s)Φ(s,t)x0ds≥β1∫tt+σx0TΦT(s,t)Φ(s,t)x0ds≥β1∫tt+σ∣∣Φ(s,t)x0∣∣2ds≥2β1σ2∣∣x0∣∣2
故 P ( t ) P(t) P(t)有下界，证毕。

1.3 线性化定理证明

在得到了引理1和引理2之后，可以实现对线性化定理的证明：

证明：由于线性时变系统 z ˙ ( t ) = A ( t ) z ( t ) \dot z(t)=A(t)z(t) z˙(t)=A(t)z(t)在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)内一致渐进稳定。由引理2，存在一致正定且一致有界的对称矩阵 P ( t ) = ∫ t + ∞ Φ T ( s , t ) Φ ( s , t ) d s P(t)=\int_t^{+\infty}\Phi^T(s,t)\Phi(s,t)ds P(t)=∫t+∞ΦT(s,t)Φ(s,t)ds满足：
P ˙ ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) = − I , ∀ t ≥ t 0 \dot{P}(t)+A^T(t)P(t)+P(t)A(t)=-I,\forall t \geq t_0 P˙(t)+AT(t)P(t)+P(t)A(t)=−I,∀t≥t0
且由 P ( t ) P(t) P(t)的一致正定性,存在 α , β > 0 , ∀ t ≥ 0 , ∀ x ∈ R n \alpha,\beta >0,\forall t \geq 0,\forall \mathbf{x} \in R^n α,β>0,∀t≥0,∀x∈Rn，使：
α x T x ≤ x T P ( t ) x ≤ β x T x , \alpha \mathbf{x}^T\mathbf{x}\leq \mathbf{x}^TP(t)\mathbf{x} \leq \beta \mathbf{x}^T\mathbf{x},\ αxTx≤xTP(t)x≤βxTx,
构造 L y a p u n o v Lyapunov Lyapunov函数 V ( x , t ) = x T P ( t ) x V(\mathbf{x},t)=\mathbf{x}^TP(t)\mathbf{x} V(x,t)=xTP(t)x,则 V ( x , t ) V(\mathbf{x},t) V(x,t)正定。其导数：
V ˙ ( x , t ) = x T P ˙ ( t ) x + f T ( x , t ) P ( t ) x + x T P ( t ) f ( x , t ) \dot{V}(\mathbf{x},t)=\mathbf{x}^T\dot{P}(t)\mathbf{x}+f^T(\mathbf{x},t)P(t)\mathbf{x}+\mathbf{x}^TP(t)f(\mathbf{x},t) V˙(x,t)=xTP˙(t)x+fT(x,t)P(t)x+xTP(t)f(x,t)
实际上， f ( x , t ) = A ( t ) x + ψ ( x , t ) f(\mathbf{x},t)=A(t)\mathbf{x}+\psi(\mathbf{x},t) f(x,t)=A(t)x+ψ(x,t)带入上式得到：
V ˙ ( x , t ) = x T [ P ˙ ( t ) + A T ( t ) P ( t ) + P ( t ) A ( t ) ] x + 2 x T P ( t ) ψ ( x , t ) = − x T x + 2 x T P ( t ) ψ ( x , t ) \dot{V}(\mathbf{x},t)=\mathbf{x}^T[\dot{P}(t)+A^T(t)P(t)+P(t)A(t)]\mathbf{x}+2\mathbf{x}^TP(t)\psi(\mathbf{x},t)\\=-\mathbf{x}^T\mathbf{x}+2\mathbf{x}^TP(t)\psi(\mathbf{x},t) V˙(x,t)=xT[P˙(t)+AT(t)P(t)+P(t)A(t)]x+2xTP(t)ψ(x,t)=−xTx+2xTP(t)ψ(x,t)
由于 ψ ( x , t ) \psi(\mathbf{x},t) ψ(x,t)满足 lim ⁡ ∣ ∣ x ∣ ∣ → 0 sup ⁡ t ≥ 0 ∣ ∣ ψ ( x , t ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ = 0 \lim_{||\mathbf{x}||\rightarrow 0}\sup_{t \geq 0}\frac{||\psi(\mathbf{x},t)||}{||\mathbf{x}||}=0 lim∣∣x∣∣→0supt≥0∣∣x∣∣∣∣ψ(x,t)∣∣=0，因此对于给定 ε = 1 3 β \varepsilon=\frac{1}{3\beta} ε=3β1，存在 ∣ ∣ x ∣ ∣ < r ||\mathbf{x}||<r ∣∣x∣∣<r,使得 ∀ t ≥ t 0 \forall t \geq t_0 ∀t≥t0时有：
∣ ∣ ψ ( x , t ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≤ sup ⁡ t ≥ 0 ∣ ∣ ψ ( x , t ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≤ ε = 1 3 β \frac{||\psi(\mathbf{x},t)||}{||\mathbf{x}||}\leq\sup_{t \geq 0}\frac{||\psi(\mathbf{x},t)||}{||\mathbf{x}||} \leq \varepsilon=\frac{1}{3\beta} ∣∣x∣∣∣∣ψ(x,t)∣∣≤t≥0sup∣∣x∣∣∣∣ψ(x,t)∣∣≤ε=3β1
此时有：
V ˙ ( x , t ) = − x T x + 2 x T P ( t ) ψ ( x , t ) = − x T x + 2 ∣ ∣ x T P ( t ) ψ ( x , t ) ∣ ∣ ≤ − x T x + 2 ∣ ∣ x T P ( t ) ∣ ∣ ∣ ∣ ψ ( x , t ) ∣ ∣ ≤ − x T x + 2 3 β β ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = − 1 3 x T x \dot{V}(\mathbf{x},t)=-\mathbf{x}^T\mathbf{x}+2\mathbf{x}^TP(t)\psi(\mathbf{x},t)\\=-\mathbf{x}^T\mathbf{x}+2||\mathbf{x}^TP(t)\psi(\mathbf{x},t)|| \\ \leq-\mathbf{x}^T\mathbf{x}+2||\mathbf{x}^TP(t)|| ||\psi(\mathbf{x},t)|| \\\leq-\mathbf{x}^T\mathbf{x}+\frac{2}{3\beta}\beta||\mathbf{x}||^2 =-\frac{1}{3}\mathbf{x}^T\mathbf{x} V˙(x,t)=−xTx+2xTP(t)ψ(x,t)=−xTx+2∣∣xTP(t)ψ(x,t)∣∣≤−xTx+2∣∣xTP(t)∣∣∣∣ψ(x,t)∣∣≤−xTx+3β2β∣∣x∣∣2=−31xTx
即说明在 ∣ ∣ x ∣ ∣ < r , ∀ t ≥ 0 ||\mathbf{x}||<r,\forall t \geq 0 ∣∣x∣∣<r,∀t≥0时, V ˙ ( x , t ) \dot{V}(\mathbf{x},t) V˙(x,t)负定。故说明原非线性系统一致渐进稳定，此时的 r r r为该非线性系统的吸引域，证毕。

2.时变线性系统的稳定性判据

时变连续系统的稳定性判别方法很多，对于下述的时变线性系统

不加证明的给出一些稳定性判别的常用方法：

上述结论来自于稳定性第二课：时变线性系统的稳定性。