『分享』水平集算法简介(Level Set)
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水平集算法简介(Level Set)
一、水平集的定义
与实数c对应的可微函数f:R^n—>R的水平集是实点集{(x1, x2, ...,xn) | f(x1, x2,...,xn) = c} ,称可微函数f为水平集函数。
[举例]
函数f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2对应于常数c的水平集是以(0,0,0)为球心,sqrt(c) 为半径的球面。
当 n=2, 称水平集为水平曲线(LEVEL CURVE)。
当 n=3, 称水平集为水平曲面(LEVEL SURFACE)。
二、水平集的核心思想
Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出,最近十几年得到广泛的推广与应用。简单的说来,Level Set方法把低维的一些计算上升到更高一维,把N维的描述看成是N+1维的一个水平。举个例子来说,一个二维平面的圆,如x^2+y^2=1可以看成是二元函数f(x,y)=x^2+y^2的1水平,因此,计算这个圆的变化时就可以先求f(x,y)的变化,再求其1水平集。这样做的好处是,第一,低维时的拓扑变化在高维中不再是一个难题;第二,低维需要不时的重新参数化,高维中不需要;第三,高维的计算更精确,更鲁棒;第四,Level Set方法可以非常容易的向更高维推广;最后,也是非常重要的一点就是,上升到高维空间中后,许多已经成熟的算法可以拿过了直接用,并且在这方面有非常成熟的分析工具,譬如偏微分方程的理论及其数值化等。当然,这种方法最为诟病的就是他增加了计算量,但新的快速算法不断出现,使得这也不是个大问题。
考虑两个分离的圆形火焰,都以一个恒定的速度向外燃烧(见图(a)),其界面的演化是可以预测的,当这两个分离的界面燃烧到一起时,演化界面合并为一个单独的转播前沿(见图 (b)),这种拓扑结构的变化使得离散参数化遇到真正的困难,因为要得到扩展火焰的真正边界,就必须从燃烧的区域中去除原属于两个界面的边界点。要想系统地确定这些点是一个困难的问题,然而一个窍门就是采用一个更高一维的空间,这就是水平集方法的基本思想。
三、一般性算法
水平集图像处理的这种思想方法直接形成了一种一般性算法
(1)设定水平集函数的初态;
(2)确定动力F的形式;
(3)按基本方程推演水平集函数的各状态;
(4)对于每一水平集函数的状态求解零水平集。
尽管具体技术细节千变万化,水平集图像处理的算法万变不离其宗,都是围绕上述
一般性算法而展开的。
Level Set的适用范围:
这儿只是列举一些经典的领域,但并不完全,如果你能在自己的领域找到新的应用,祝贺你。 Level Set最初始的应用领域就是隐含曲线(曲面)的运动,现在Level Set已经广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中的一些东西。
Level Set需要掌握的知识:
学习和应用Level Set需要掌握偏微分方程理论及其数值化方法,其中又应该着重掌握偏微分方程中的Conversation Law,The Theory of Viscosity Solution and Hamilton-Jacobi Equation及其数值化方法。同时,在学习Level Set的时候也会经常遇到变分法和测度论的一些内容,但对这两方面的要求不高,了解一下就行了。
Level Set的推荐读物:
(1) Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002). 评点:这本书是创始人之一Osher写的,这本书是论述Level Set的最完整的书籍之一,更偏重于数值化的高精度解,应用领域涉及图像处理以及计算物理。
(2) James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999). 评点:这是另外一个创始人Sethian的作品,与Osher的书互有侧重,互相补充,这本书更偏重于Fast Marching Methods,非结构化网格,涉及的应用领域更广泛。
(3) Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University.评点:这本书对理解Level Set也非常有帮助,它更偏重于图像中的几何特征,如曲率等,对几何偏微分方程介绍的比较详细。
(4) Gilles Aubert and Pierre Kornprobst,Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。 这本书数学味太浓,一般人没兴趣读下去,但如果你确实想对你的方法奠定更好的理论基础,这本书就非常有用了,它可以指导你应该在哪方面下功夫。另外,这边书的前言和第一章写的非常好,非常值得一读。
总评:(1)和(2)是学习Level Set常备案头的手册, 如果你想深入,(3)和(4)也应该看一看。
Level Set推荐文章
(1) Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton--J
(2) Osher, S. and Fedkiw, R., "Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results", J. Comput. Phys. 169, 463-50
(3) Richard Tsai and Stanly Osher,level set methods and their applications in image science,COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656评点:这篇综述内容更丰富些,结果也比较新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf可以下载。
总评:关于Level set的文章太多,无法一一列举,强烈建议到下面的网址逛一逛,那儿有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~ima
Level Set推荐网站:
(1) http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html评点:这是Sethian的网站,上面关于Level Set的论述非常多,分门别类
(2) http://www.math.ucla.edu/~imagers/ 评点:这是UCLA的研究组,由Osher创办,关于Level Set的新进展几乎都跟他们相关
Level Set的工具包:
http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html 评点:这是Michell开发的工具包,通用性比较好,缺点是自己修改起来非常麻烦
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