超平面、半空间、多面体的辨析

超平面

超平面是具有以下形式的集合： $\left\{x \mid a^{T} x=b\right\}$ ，其中 $\math a \in \mathbf{R}^{n}, a \neq 0, b \in \mathbf{R}$ 。即超平面是非平凡的线性方程的解空间，超平面是一个仿射集合。

$\mathbf{R}^{2}$ 中由法向量 $a$ 和超平面上一点 $x_{0}$ 确定的超平面。对于超平面上任意一点 $x, x-x_{0}$ （如深色箭头所示）都垂直于 $a$ 。

半空间

一个超平面将 $\mathbf{R}^{n}$ 划分为两个半空间。（闭的）半空间是具有以下形式的集合： $\left\{x \mid a^{T} x \leq b\right\}$ ，其中 $\math a \neq 0$ 。即半空间是非平凡的线性不等式的解空间，半平面是凸的，但不是仿射的。

$\mathbf{R}^{2}$ 上由 $\math a^{T} x=b$ 定义的超平面决定了两个半空间。由 $\math a^{T} x \geqslant b$ 决定的半空间(无阴影)是向 $a$ 扩展。由 $\math a^{T} x \leqslant b$ 确定的半空间（阴影所示）向 $-a$ 方向扩展。向量 $a$ 是这个半空间向外的法向量。

多面体

多面体被定义为有限个线性等式和不等式的解集，即具有以下形式的集合： $\mathcal{P}=\left\{x \mid a_{j}^{T} x \leq b_{j}, j=1, \ldots, m, c_{j}^{T} x=d_{j}, j=1, \ldots, p\right\}$ 。即多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集合（例如子空间、超平面、直线）、射线、线段和半空间都是多面体。

多面体 $\mathcal{P}$ （阴影部分）是外法向量 $\math a_{1}, \ldots, a_{5}$ 的五个半空间的交集。

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