（四十二）利率互换与货币互换的定价

利率互换定价

对于互换多头（即支固收浮者，希望利率上升），例如浮动利率债券的多头与固定利率债券的空头的组合，利率互换的价值V = B_fl - B_fix；反之对于互换空头（收浮支固者，希望利率下降），例如固定利率债券的多头与浮动利率债券的空头的组合，利率互换的价值就是V = B_fix - B_fl。

其中固定利率债券的价值 B_fix就是未来交换的现金流的贴现和，一般用连续复利的即期利率来贴现。为计算B_fl，注意到浮动债券在付息后等于其面值A（因为其收益率和折现率均为上一支付日的浮动利率如Libor），假定下一次互换现金流的时间为t* 时刻，在t* 时刻支付浮动利息是K*，在支付利息之后的那一时刻B_fl = A+K*，所以浮动利率债券可看作是在t* 时刻提供单一现金流的金融资产，对这一现金流用对应期限的贴现率r* 进行贴现即可得出浮动利率债券的现值为B_fl = (A+K*)×e^-r*t*。

案例：假设按照某利率互换条款，某一金融机构同意支付6个月期的LIBOR，同时收取每年8%的利率（半年期的年复利），名义本金为1亿美元，该互换还有1.25年时间到期。按照连续复利计算的3个月、6个月、9个月和15个月的相关贴现率分别是10%、10.3%、10.5%和11%。上一支付日所对应的LIBOR为10.2%（半年复利）。计算该利率互换对于该金融机构的价值。

注意该互换15个月后到期，因此支付日从现在往后推分别是3个月后，9个月后和15个月后。该金融机构支浮收固，是互换空头，V = B_fix - B_fl = -4.267百万美元，对于该金融机构来说互换价值为负。

import numpy as np
def int_swap_long(t,r,A,k,r0):Bfix=sum(A*k*0.5*(np.exp(-r*t)))+A*(np.exp(-r[-1]*t[-1]))Bfl=(A+0.5*A*r0)*(np.exp(-r[0]*t[0]))return Bfl-Bfix
A=100;t=np.array([0.25,0.75,1.25]);k=0.08
r=np.array([0.1,0.105,0.11]);r0=0.102
V=-int_swap_long(t,r,A,k,r0)
V
Out[3]: -4.2671758531406

利率互换中固定利率的计算

互换的固定利率定价要使得互换合约刚签订时的价值为0。假定Libor为6个月期的浮动利率，利息每6个月交换一次。由于付息日浮动利率的确定来自6个月前，因此知道互换的年限后，未来的浮动利率要根据远期利率来计算，而远期利率可以根据零息债券的收益率（利率期限结构）获得，即：(1+r_i/2)ⁱ (1+f_i+1,i/2) = (1+r_i+1/2)ⁱ⁺¹，r_i为第i个半年后到期的零息债券半年付息一次的年收益率。因此使得 B_fix - B_fl = 0的x就是固定利率的定价（下图中左边式子还要×0.5，n为半年期的期数）：

比如要确定一个5年期、名义本金为100万美元、6个月付息一次的利率互换的固定利率，利率的期限结构t=[0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5]，对应的零息债券收益率分别为r=[0.0614,0.0642,0.066,0.0684,0.0702,0.0726,0.0754,0.0795,0.0827,0.0868]：

t=np.array([1,2,3,4,5,6,7,8,9,10])#5年有10个复利期间
r=np.array([0.0614,0.0642,0.066,0.0684,0.0702,0.0726,0.0754,0.0795,0.0827,0.0868])
f=np.zeros(len(t));f[0]=r[0]
for i in range(len(t)-1):#求远期利率f[i+1]=(((2+r[i+1])**t[i+1])/(2+r[i])**t[i])-2
f
Out[6]:
array([0.0614    , 0.0670038 , 0.06960471, 0.07561674, 0.07741568,0.0846418 , 0.09227962, 0.10842769, 0.10847791, 0.12406512])
discount=np.zeros(len(t))
for i in range(len(t)):#求折现因子discount[i]=(1+r[i]/2)**t[i]
Bfl=A*0.5*sum(f/discount)#浮动利率债券价格
from scipy import optimize#求解固定利率x
def g(x):e=Bfl-A*0.5*sum(x/discount)return e
result=optimize.fsolve(g,0.1)
print('固定利率为{:.2%}'.format(float(result)))固定利率为8.45%

货币互换定价

与利率互换的方式相似，货币互换可以分解为用两种债券表示的情况。假如有两个公司，一个是支付10.8%年利率英镑债券的多头，另一个是支付8.0%年利率美元债券的空头。如果用V表示互换的价值，对支付美元利率的那一方而言，美国为本国，V=S×B_F - B_D，B_F表示在互换中以外币形式衡量的外币债券价值，B_D为互换中美元债券的价值，S为即期汇率（以每单位外币等于若干本国货币数量来表示）。因此，互换的价值可以由本国货币的利率期限结构、外币的利率期限结构以及即期汇率来确定。

案例：假设日元和美元的利率期限结构都是平的，日元年利率为4%，美元年利率为9%（连续复利）。一家金融机构进行货币互换，它每年以日元收取年利率为5%的利息，以美元支付年利率为8%的利息，以两种货币表示的本金分别为120000万日元和100万美元，互换将持续3年，每年互换一次。现在的汇率为1美元=110日元，试求该互换对于金融机构的价值。

def cur_swap(t,k1,k2,A1,A2,r1,r2,ex):BF=sum(A2*k2*(np.exp(-r2*t)))+A2*(np.exp(-r2*t[-1]))BD=sum(A1*k1*(np.exp(-r1*t)))+A1*(np.exp(-r1*t[-1]))return BF/ex-BD
A1,A2=1000,120000
r1,r2=0.09,0.04
k1,k2=0.08,0.05
t=np.array([1,2,3])
ex=110
V=cur_swap(t,k1,k2,A1,A2,r1,r2,ex)
V
Out[7]: 154.29957746883156

该互换对于金融机构的价值为+154.3万美元。