谢邀！这个问题不难很基础。我用R语言从下面几个方面来回答这个问题：

一、two step GMM, iterated GMM, continuous updated GMM的具体算法；

二、你给的这个矩条件与LS之间的关系；

三、广义经验似然估计；

四、估计求解；

五、Monte Carlo 模拟研究

一、三种算法

众所周知GMM的矩条件是

,其中

，我们的目的就是估计出

。Hansen(1982)提出一种GMM的two step 迭代估计方法，在R里面gmm包(Pierre Causse,2010)的算法如下：

这就是two step GMM的估计方法，尽管这个估计是一致的且有效，但是也有缺点。在处理内生性问题的时候，如果工具变量选的不好那么这个估计效率很低方差很大；此外，正如很多研究指出的(如Newey&Smith,2004; etc.)这个估计量的小样本性质不太好(有偏)。对此，Hansen et al.(1996)针对这个问题，又提出了改进的两种方法：iterated GMM

以及一种高度非线性的迭代 continuous updated GMM

事实上，这两种方法是等价的，且continuous updated GMM估计量的渐进偏差更小。当然这只是大样本情况下的渐进性质，针对你给的这个问题我觉得小样本情况下需要进行具体分析。

二、与LS 之间的关系

众所周知，GMM是LS的generalization，那么你给的这个GMM下的矩条件与LS之间有什么关系呢？事实上，不妨令矩条件为

,其中

。两边取对数后得到

，注意到当样本容量N趋于无穷的时候，我们可以得到

。将此式子带入上面的等式里，得到

看到这是不是感到很熟悉，没错这不就是一般的线性回归嘛，最左边是Y，系数是

。这样我们就把非线性矩条件转化为了一个线性的方程，我们的目的就是用LS求解出

。注意到这是一个受约束的最小二乘问题：

可以看出我们对参数

施加了一个等式约束来满足你给出的矩条件。利用Langrange乘子法可以求出参数，具体的计算我就不展开了，对乘子

求导后得到

发现，其实这就是矩条件：

!由此可见你给的矩条件下GMM与LS之间的等价关系。

三、广义经验似然估计

GMM固然是个好东西，但是正如第一节所述，小样本下面对弱工具变量等情况下，GMM 估计量往往有偏且无效。对此还有一种广义的经验似然方法(GEL)往往比GMM在统计上更优良，

GEL是经验似然估计方法的推广，有很多优良的性质，只不过没有被更多的计量经济学家或实证研究者关注，具体的就不说了，你可以找OWEN他们的文献来读。后面我将用GMM方法与GEL方法来估计你给的那个参数。

四、估计

你没有r是多少，我就用你给的

数据，且假设

。利用R包gmm就可以直接求解了：

library(gmm)

g2

f

return(f)

}

g2是你给的矩条件，以及

g1

f

return(f)}

g1是LS下的

把数据带入：

x1

x2

x

gmm(g2,x,0,wmatrix = c("optimal"),optfct="nlminb")

gmm(g1,x,0,wmatrix = c("optimal"),optfct="nlminb")

gel(g2,x,0,optfct="nlminb")

gel(g1,x,0,optfct="nlminb")

最后的估计结果是

可以看出四个估计结果都一样：

，GMM与GEL 的计算一样，且你给的矩条件与LS推导下矩条件计算结果一致，证明了上面的推导。但是值得注意的是利用GEL对矩条件g1进行估计得到的估计量方差最小。

五、MC模拟

现在主要针对你给的这个矩条件，研究下GMM与GEL估计的小样本性质。考虑如下DGP：

，

从均匀分布里面抽出50个随机数，真实的参数值

。采用上述四个计算，得到结果

发现GMM与GEL估计的结果都是0.5，与真实值不差毫厘。说明即使样很小，针对你给的矩条件，GMM与GEL估计的性质都还不错。当然你还可以做一个bootstrap 去看看GMM,GEL估计的抽样分布。哦对了，我用的GMM的计算方法还是two step 的，你可以换做iterated GMM 与CUE试试。

R的gmm包使用指南：CRAN - Package gmm​cran.r-project.orghttps://cran.r-project.org/web/packages/gmm/gmm.pdf​cran.r-project.orghttps://cran.r-project.org/web/packages/gmm/vignettes/gmm_with_R.pdf​cran.r-project.org

当然STATA也可以做，跟R差不多，具体的可以参考https://core.ac.uk/download/pdf/6306768.pdf​core.ac.ukhttps://core.ac.uk/download/pdf/6490419.pdf​core.ac.uk

references

Chaussé P. Computing Generalized Empirical Likelihood and. Generalized Method

of Moments with R[J]. Journal of Statistical Software, 2010,34(11):1-35.

NeweyW K, Smith R J. Higher Order Properties of GMM and Generalized Empirical Likelihood Estimators[J]. Econometrica, 2004, 72(1):219-255.

Anatolyev S. GMM, GEL, Serial Correlation, and Asymptotic Bias[J]. Econometrica, 2005, 73(3):983-1002.

Hansen L P. Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators[J]. Econometrica, 1982, 50(4):1029-1054.

Hansen L P, Singleton K J. Generalized Instrumental Variables Estimation of

Nonlinear Rational Expectations Models[J]. Econometrica, 1982,

50(5):1269-1286.

Hansen L P, Heaton J, Yaron A. Finite-Sample Properties of Some Alternative

GMM Estimators[J]. Journal of Business & Economic Statistics, 1996,

14(3):262-280.