【数据结构】克鲁斯卡尔(Kruskal)算法 —PK— 普里姆(Prim)算法
目录
一、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
二、普里姆(Prim)算法
三、两个算法对比
求图的最小生成树的典型算法：
克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
普里姆（Prim）算法
注：考虑问题的出发点相同：为使生成树上边的权值之和达到最小，则应使生成树中每一条边的权值尽可能的小。
一、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法
1）概述
先构造一个只含n个顶点的子图SG，然后从权值最小的边开始，若它的添加不使SG中产生回路【不产生回路】，则在SG上加上这条边，如此重复，直至加上n-1条边为止。
2）算法分析
设图G=(V, E) 是一个具有n个顶点的连通无向图，T=(V, TE)是图G的最小生成树。
V是T的顶点集
TE是T的边集
构建最小生成树的步骤：
T的初始化状态 T = (V, 空 ) ，即最小生成树T是图G的生成零图。
将图G中的边按照权值从小到大的顺序排序
依次选取每条边，若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE中，否则舍弃。直至TE中包含n-1条边为止
例：
3）性能分析
构建最小生成树时，尽可能选择权值最小的边，但并不是每一条权值最小的边都必然可选，有可能构成回路。
最小生成树不是唯一的，因为同一时候可能有多重选择。
算法的时间复杂度：O(elge) ，即克鲁斯卡尔算法的执行时间主要取决于图的边数。
该算法适用于针对==稀疏图==的操作。
二、普里姆(Prim)算法
1）概述
取图中任意一个顶点v作为生成树的根，之后往生成树上添加新的顶点w。
在添加顶点w和已经在生成树上的顶点v之间必定存在一条边，并且该边的权值在所有连通顶点v和w之间的边中取值最小。
之后继续往生成树上添加顶点，直至生成树上含有n-1个顶点为止。
2）算法分析
例：从a顶点出发
补充概念：
两个顶点之间的距离：指将顶点邻接到的关联边的权值
记为：|u,v|
顶点到顶点集合之间的距离：指顶点到顶点集合中所有顶点之间的距离中的最小值。
记为：|u, V| = min |u,v|
两个顶点集合之间的距离：指顶点集合到顶点集合中所有顶点之间的距离中的最小值。
记为：|U, V| = min |u, V|
3）步骤分析
在生成树的构造过程中，图中n个顶点分属两个集合：已落在生成树上的顶点集合U 和 尚未落在生成树上的顶级集合V-U，则应在所有连通U中顶点和V-U中的顶点的边中选取权值最小的边。
4）代码实现
程序最后运行结果：
辅助数组：
算法：
public class MiniSpanTree_PRIM {// 内部类辅助记录从顶点U到V-U的代价最小的边private class CloseEdge {Object adjVex;int lowCost;public CloseEdge(Object adjVex, int lowCost) {this.adjVex = adjVex; //顶点this.lowCost = lowCost; //两个顶点之间最下的权值，}}// 用普里姆算法从第u个顶点出发构造网G的最小生成树T，返回由生成树边组成的二维数组public Object[][] PRIM(MGraph G, Object u) throws Exception {// 用于记录最小生成树的顶点，例如：tree[0][0]="v0",tree[0][1]="v2"Object[][] tree = new Object[G.getVexNum() - 1][2];int count = 0; // 初始化数据CloseEdge[] closeEdge = new CloseEdge[G.getVexNum()];int k = G.locateVex(u); //当前节点在for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) // 辅助数组初始化if (j != k)closeEdge[j] = new CloseEdge(u, G.getArcs()[k][j]);// 当最小权值为0时，表示当前节点已经在树中closeEdge[k] = new CloseEdge(u, 0); // 初始，U={u}for (int i = 1; i < G.getVexNum(); i++) { // 选择其余G.vexnum - 1个顶点k = getMinMum(closeEdge); // 求出T的下一个结点：第k个顶点tree[count][0] = closeEdge[k].adjVex; // 生成树的边放入数组tree[count][1] = G.getVexs()[k]; //count++;closeEdge[k].lowCost = 0; // 第k个顶点并入U集for (int j = 0; j < G.getVexNum(); j++) //新顶点并入U后重新选择最小边if (G.getArcs()[k][j] < closeEdge[j].lowCost)closeEdge[j] = new CloseEdge(G.getVex(k), G.getArcs()[k][j]);}return tree;}//在closeEdge中选出lowCost最小且不为0的顶点private int getMinMum(CloseEdge[] closeEdge) {int min = Integer.MAX_VALUE;int v = -1;for (int i = 0; i < closeEdge.length; i++)if (closeEdge[i].lowCost != 0 && closeEdge[i].lowCost < min){min = closeEdge[i].lowCost;v = i;}return v;}
}测试类:
public class Example6_4 {public final static int INFINITY = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) throws Exception {Object vexs[] = { "v0", "v1", "v2", "v3", "v4", "v5" };// 各顶点之间边的关系int[][] arcs = { { 0, 7, 1, 5, INFINITY, INFINITY },{ 7, 0, 6, INFINITY, 3, INFINITY }, { 1, 6, 0, 7, 6, 4 },{ 5, INFINITY, 7, 0, INFINITY, 2 },{ INFINITY, 3, 6, INFINITY, 0, 7 },{ INFINITY, INFINITY, 4, 2, 7, 0 } };MGraph G = new MGraph(GraphKind.UDG, 6, 10, vexs, arcs);Object[][] T = new MiniSpanTree_PRIM().PRIM(G, "v1");for (int i = 0; i < T.length; i++)System.out.println(T[i][0] + " - " + T[i][1]);}
}
// 开始顶点v1 调试结果：
// v1 - v4
// v1 - v2
// v2 - v0
// v2 - v5
// v5 - v3// 开始顶点v0 调试结果：
//v0 - v2
//v2 - v5
//v5 - v3
//v2 - v1
//v1 - v45）性能分析
普利姆算法的时间复杂度为：O(n2)，执行时间主要取决于图的顶点数，与边数无关。
该算法适用于==稠密图==的操作。
三、两个算法对比
| 普里姆算法 | 克鲁斯卡尔算法 | |
|---|---|---|
| 时间复杂度 | O(n2) | O(eloge) |
| 适应范围 | 稠密图 | 稀疏图 |
| 执行时间 | 取决于图的顶点数 | 取决于图的边数 |
| 执行步骤 | 任意一顶点V作树的根，之后往树上添加边中权值最小的顶点W，不产生回路 | 构造一个顶点，从权值最小的边开始，不产生回路 |
写到最后
四季轮换，已经数不清凋零了多少， 愿我们往后能向心而行，一路招摇胜！
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