均方差(Mean Square Error, MSE)

评价一幅图像压缩前和压缩还原后的差异，有两种常用方法：

①大家来找茬——进化程度高的人类可轻易识别；

②数学方法——压缩前和还原后的图像作均方差；

均方差计算方法：

显然，MSE越小，图像的质量越好。

K-L 转换：

要想获得最小均方差的转换，可以使用K-L转换。K-L转换(Karhunen-Loève Transform)是建立在统计特性基础上的一种转换，它是均方差(MSE, Mean Square Error)意义下的最佳转换，因此在资料压缩技术中占有重要的地位。K-L转换是对输入的向量x，做一个正交变换，使得输出的向量得以去除数据的相关性。

简单地说，只要能不辞劳苦地算出图像的K-L转换，就能找到MSE最小的转换。

我的天啊，这听起来真棒！等等，K-L转换的计算复杂度奇高，半天压缩才压缩一副图片，恐怕自拍狂们会hold不住。

那有没有简单的变换方法，计算简单，又能保证图像质量？

图像变换 - 从空间到频域

在进一步忽悠之前，先讲讲“变换”到底是个啥。

“变换”就是，换个角度看问题。讲得装逼点，就是将函数从“时域”投影到“频域”，于是我们就能从频率的角度分析问题。

DCT - 离散余弦变换

DCT( Discrete Cosine Transform)，与傅里叶变换相关的一种变换，类似于离散傅里叶变换，但是只使用实数。离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换。

对二维灰度图像进行DCT变换，就能得到图像的频谱图：低阶(变化幅度小)的部分反映在DCT的左上方，高阶(变化幅度大)的部分反映在DCT的右下方。由于人眼对高阶部分不敏感，依靠低阶部分就能基本识别出图像内容，所以JPEG进行压缩的时候，基本上只存储DCT变换后的左上部分，而右下部分则直接丢弃。

为什么JPEG采用DCT而非DFT？

DCT跟DFT都是将二维空间图像转换到频域，为什么JPEG会采用DCT而非DFT呢？一个重要的原因，是子图之间的连续性。DFT变换没有考虑到子图之间的边界，整幅大图变换出来会得到如图上方的波形，波形不连续容易导致Gibbs phenomenon；而DCT得到子图间的波形则是连续的。

MATLAB实验代码

>> %量化矩阵

>> quantization_mat = [16,11,10,16,24,40,51,61;

12,12,14,19,26,58,60,55;

14,13,16,24,40,57,69,56;

14,17,22,29,51,87,80,62;

18,22,37,56,68,109,103,77;

24,35,55,64,81,104,113,92;

49,64,78,87,103,121,120,101;

72,92,95,98,112,100,103,99;];

>> %读取原始图像

>> lena_ori = imread('F:/dip/lena.bmp');

>> lena_int = int16(lena_ori);

>> lena_offset = lena_int - 128;

>> % 作8*8 DCT

>> lean_dct = blkproc(lena_offset,[8 8],'dct2(x)');

>> % 量化

>> lena_quantization = blkproc(lean_dct,[8 8],'x./P1',quantization_mat);

>> lena_jpeg = int16(lena_quantization); %取整

>>

>> %还原图像

>> restore_dct = blkproc(lena_jpeg,[8 8],'x.*P1',quantization_mat);

>> restore_offset = blkproc(restore_dct,[8 8],'idct2(x)');

>> restore_img = restore_offset + 128;

>>

>> restore_img = mat2gray(restore_img); %图像经过反量化反DCT之后，灰度值的范围超出0-255之内，通过这个函数将像素范围缩小。

>>

>> % 原图与压缩后图像作差

>> lena_ori = mat2gray(lena_ori);

>> img_error = abs(restore_img - lena_ori);

>> figure; subplot(1,3,1); imshow(lena_ori);subplot(1,3,2); imshow(restore_img);subplot(1,3,3);imshow(img_error);

>>

实验结果图 左为原图，中为压缩后图像，右为前两者的差值 (没看出差别吧~)

DCT的高阶部分因量化损失掉了，所以前两者是有细节差别的，但人眼几乎无法识别。