概率与期望（小总结）

概率

1. 1. 1.某些定义

设集合空间为 Ω \Omega Ω， Ω \Omega Ω即为此次事件所有基本事件的并集（总集）。
不可能事件：记为 Φ \Phi Φ。
事件包含：若事件 A A A发生一定导致事件 B B B发生，即事件 B B B的集合包含事件 A A A的集合，记为 A ⊂ B A\subset B A⊂B或 B ⊃ A B\supset A B⊃A。
事件的和（并）：事件 A A A和事件 B B B至少有一个发生，这样的一个事件称为事件的和或并，记为 A ∪ B A\cup B A∪B或 A + B A+B A+B。
事件的积：事件 A A A与 B B B同时发生，这样的事件称为事件 A A A与 B B B的积或交，记为： A ∩ B A\cap B A∩B或 A B AB AB。
事件的差：事件 A A A发生而事件 B B B不发生，即为事件 A A A的集合减去 A ∩ B A\cap B A∩B,称为 A − B A-B A−B。
互斥事件：事件 A A A与 B B B不能同时发生，即 A B = Φ AB=\Phi AB=Φ，称事件 A A A与 B B B互不相容或互斥。
对立事件（互逆）：若事件 A A A与事件 B B B有且仅有一个发生，且 A ∪ B = Ω A\cup B=\Omega A∪B=Ω, A ∩ B = Φ A\cap B=\Phi A∩B=Φ,称事件 A A A和事件 B B B为对立事件或互逆事件，其中 B B B事件称为 A A A的逆事件，记作 B = A ˉ B=\bar{A} B=Aˉ。
条件概率：事件 A A A发生下的事件 B B B发生的概率，也可理解为事件 A A A的集合中与事件 B B B重合的部分所占的比例，称为事件 A A A发生的条件下事件 B B B的条件概率，记为 p ( B ∣ A ) p(B|A) p(B∣A), p ( B ∣ A ) = p ( A B ) / p ( A ) p(B|A)=p(AB)/p(A) p(B∣A)=p(AB)/p(A)。
全概率公式：事件 A 1 , A 2 , A 3... A n A1,A2,A3...An A1,A2,A3...An满足两两互斥，且 ∑ i = 1 n A i = Ω \sum_{i=1}^nA_i=\Omega ∑i=1nAi=Ω，则称 A 1 , A 2... A n A1,A2...An A1,A2...An为 Ω \Omega Ω的一个集合划分（分割）。
定理：对于某一事件 B B B, p ( B ) = ∑ i = 1 n p ( A i ) ∗ p ( B ∣ A i ) p(B)=\sum_{i=1}^np(A_i)*p(B|A_i) p(B)=∑i=1np(Ai)∗p(B∣Ai)。
推论： A 1 , A 2 . . . A n A_1,A_2...A_n A1,A2...An两两互斥，但其并集不一定等于全集， ∑ A ⊃ B \sum A\supset B ∑A⊃B，则 p ( B ) = ∑ i = 1 n p ( A i ) ∗ p ( B ∣ A i ) p(B)=\sum_{i=1}^np(A_i)*p(B|A_i) p(B)=∑i=1np(Ai)∗p(B∣Ai)。
2. 2. 2.概率的数学定义

3. 3. 3.概率的性质及应用

一些经典的概率问题:

1. 1. 1.三门问题（又称蒙提霍尔问题）：

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率。
看似换一扇门好像不会增加参赛者赢得汽车的概率，但实际上，答案是肯定的。
从直觉来看，你会感觉如此：只剩下两扇门，一扇是山羊，一扇是车，那么每一扇门的概率不就是 1 2 \frac{1}{2} 21吗？你被直觉蒙蔽了吗？
我们的直觉错误的原因就在于，我们没有考虑到“主持人打开一扇有山羊的门”是必然事件（而不是随机事件），而这必然事件是不会改变最初状态的结果的。
我们可以用图示法来分析：
第一次开门，我们选中车的概率为1/3,选到羊的概率为2/3。
第二次，主持人选择羊的概率。
我们可以清晰地看到，若第一次你选择了车，那么主持人开过门后，你换门必会抽到羊；而如果你第一次选择的是羊，你换门后必抽到车，那么你换门后抽到羊的概率为2/3.
好神奇~
Polya(波利亚罐子)
因为我太蒟蒻了，所以不会严格地证明。但我在知乎上找到了一篇 S o B e a u t i f u l So Beautiful SoBeautiful的文章，完美解答我所有的问题：Polya罐子的证明

前置知识：二项式定理；若你数学学得不是很好，那你可能看不懂这个证明（多啃啃就好了）。
学了Polya模型，那你应该就会知道，为什么取球不放回的问题中，每次抽到黑球（或白球）的概率会相等了吧(将 c = − 1 c=-1 c=−1即可)。

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