【算法基础15】如何求约数？约数个数？约数之和？最大公约数？

一、试除法求约数

主要思想：由于当n/a=b时，a和b都是n的约数，即约数总是成对出现，可以在一次循环中同时找到i和n/i两个约数，只需要循环n/i次就能找到所有约数。

例题：求一个数的所有约数，并将它们按大小排序。

vector<int> get_divisors(int n){vector<int> res;for(int i=1;i<=n/i;i++){//只循环n/i次if(n%i==0){//找到约数res.push_back(i);if(n/i!=i) res.push_back(n/i);//存入与i成对的那个约数}}sort(res.begin(),res.end());//排序return res;
}

二、约数个数

主要思想：将数n分解成，数n的所有约数个数即为 $\alpha$ 的所有组合个数，可以用公式 $\left ( \alpha _{1}+1 \right )\left ( \alpha _{2}+1 \right )$ …… $\left ( \alpha _{k}+1 \right )$ 求得。而分解过程即为在求一个数的所有质因子（详见【算法基础14】）算法上稍加改动，在存储质因子的同时存储该质因子的幂。

例题：给出由n个数，求它们的乘积的约数个数。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int> primes;//用哈希图存储质因子和它对应的幂while(n--){int x;cin>>x;for(int i=2;i<=x/i;i++){//求质因子while(x%i==0){x/=i;primes[i]++;//该p对应的a++}            }if(x>1) primes[x]++;//处理大于x/i的那个质因子}LL res=1;for(auto prime:primes){res=res*(prime.second+1);//代入公式计算} cout<<res<<endl;return 0;
}

三、约数的和

主要思想：由，约数之和即为 $\alpha$ 的组合个数的和，可以j将约数之和分解成 $\left ( p_{1}^{0}+p_{1}^{1}+\begin{matrix}...+\end{matrix}p_{1}^{\alpha _{1}} \right )\left ( p_{2}^{0}+p_{2}^{1}+\begin{matrix}...+\end{matrix}p_{2}^{\alpha _{2}} \right )...\left ( p_{k}^{0}+p_{k}^{1}+\begin{matrix}...+\end{matrix}p_{k}^{\alpha _{k}} \right )$ 。

例题：给出由n个数，求它们的乘积的约数之和。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<unordered_map>
using namespace std;typedef long long LL;int main(){int n;cin>>n;unordered_map<int,int> primes;while(n--){int x;cin>>x;for(int i=2;i<=x/i;i++){//分解while(x%i==0){x/=i;primes[i]++;}           }if(x>1) primes[x]++;}LL rsum=1;for(auto prime:primes){   int p=prime.first,a=prime.second;//pi和aiLL t=1;while(a--) t=t*p+1;//循环a次后，得p0+p1+...+p6sum=sum*t;} cout<<sum<<endl;return 0;
}

四、辗转相除法（欧几里得算法）求最大公约数

主要思想：求a和b的最大公约数可以转化为求b和a%b的最大公约数，不断递归转化到求a和0的最大公约数，则答案为a。

例题：给出两个数，求它们的最大公约数。

int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;//如果b不为0，则返回gcd(b,a%b)，否则返回a
}

五、扩展欧几里得算法

主要思想：由裴蜀定理（对于任意正整数a,b，一定存在非零整数x,y,使得ax+by=a和b的最大公约数。）求a和b的构造系数x,y。

推导过程：

代码实现：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){if(!b){x=1,y=0;//b=0时，a*1+0=areturn a;}int d=exgcd(b,a%b,y,x);y-=a/b*x;//由推导更新系数return d;
}

应用：求解同余方程。同余方程可以转化为裴蜀定理的形式，只要b是a和m的最大公约数的倍数，则同余方程一定有解，代入扩展欧几里得算法，x*(b/d)%m即为同余方程的解。