14天阅读挑战赛
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神奇的兔子数列

1、问题分析

2、算法设计

3、算法复杂度

4、算法改进

神奇的兔子数列

假设第1个月有1对初生的兔子，第2个月进入成熟期，第3个月开始生育兔子，而1对成熟的兔子每月会生 1对兔子，兔子永不死去..那么，由1对初生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？兔子数列即斐波那契数列，它的发明者是意大利数学家菜奥纳尔多斐波那契。1202年，莱奥纳尔多撰写了《算盘全书》，该书是一部较全面的初等数学著作。书中系统地介绍了印度一阿拉伯数码及其演算法则，以及中国的盈不足术”：此外还引入了负数，并研究了一些简单的一次同余式组。

1、问题分析

不妨拿新出生的1对小兔子分析。

第1个月，小兔子①没有繁殖能力，所以还是1对。

第2个月，小兔子①进入成熟期，仍然是1对。

第3个月，兔子①生了1对小兔子②，于是这个月共有2(1+1=2)对兔子。

第4个月，兔子①又生了1对小兔子③，因此比共有3(1+2=3)对兔子。

第5个月，兔子①又生了1对小兔子④，而在第3个月出生的兔子②也生下了1对小兔子⑤，因此共有5(2+3=5)对兔子。

第6个月，兔子①②③各生下了1对小兔子，新生的3对兔子加上原有的5对兔子，这个月共有8(3+5=8)对兔子。

......

为了让表达更清楚，可用图示分别表示新生兔子、成熟期兔子和生育期兔子，兔子的繁殖过程如图所示。

由上述分析可得： 当月的兔子数=上月兔子数+上上月的兔子数 斐波那契数列如下： 1,1,2,3,5,8,13,21,34, 递归表达式如下：

2、算法设计

下列按照递归算法进行：

 int Fibl(int n){if(n==1|n=2)return 1;return Fib1(n-1)+Fib1(n-2);}

3、算法复杂度

递归表达式和时间复杂度T()的关系如下：

求出斐波那契数列的通项公式：

由于T(n)≥F(n)，因此这是一个指数阶的算法！

4、算法改进

斐波那契数列中的每一项（开头的两项除外）是前两项之和，如果记录前两项的值，则只需要一次加法运算就可以得到当前项的值，时间复杂度会不会更低一些呢？不妨用数组试试看，见如下算法。

 int Fib2(int n){int*F=new int[n+l];//定义一个长度为n+1的数组，空间尚未使用F[1]=1F[2]=1;for(int i=3;i<=nji++)F[i]=F[i-1]+F[i-2];return F[n];}

该算法时间复杂度降到了多项式，且空间复杂度为O()。对算法再做进一步的改进采取迭代法进行设计：

 int Fib3(int n){if(n=1||n=2)return 1;ints1=1;//用s1和s2记录前面的两项int s2=1;for(int i=3;i<=nji++){int tmp=s1+s2;s1=s2;s2=tmpj;}return s2;}

该算法使用了几个辅助变量进行迭代，时间复杂度为0()，但空间复杂度降到了0(1)。

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