素数判定与大数分解【Miller-rabin算法】【pollard-rho算法】
对应练习题:SDNUOJ1 1286
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1.Miller-rabin算法:
Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。
根据费马小定理,如果p是素数,则a^(p-1)≡1(mod p)对所有的a∈[1,n-1]成立。所以如果在[1,n-1]中随机取出一个a,发现不满足费马小定理,则证明n必为合数。
【但是每次尝试过程中还做了一个优化操作,以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据这个定理:如果p是一个素数,那么对于x(0<x<p),若x^2%p=1,则x=1或p-1。】
为了计算a^(n-1)mod n,我们把n-1分解为x* 2^t的形式,其中t>=1且x是奇数;因此,a^(n-1)≡(a^x)^(2^t)(mod n),所以可以通过先计算a^x mod n,然后对结果连续平方t次来计算a^(n-1) mod n。一旦发现某次平方后mod n等于1了,那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件,立即检查x是否等于1或n-1,如果不等于1也不等于n-1则可直接判定p为合数。
2.pollard-rho算法:
这是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法,需要与Miller-rabin共同使用。
算法原理:
1.通过某种方法得到两个整数a和b,而待分解的大整数为n。
2.计算p=gcd(a-b,n),直到p不为1(就是a-b与n不是互质),或者a,b出现循环为止。
3.然后再判断p=n?
4.如果p=n,那么返回n是一个质数。
5.否则返回p是n的一个因子,那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p),这样,我们就可以求出n的所有质因子。
算法步骤:选取一个小的随机数x1,迭代生成x[i] = x[i-1]^2+c,一般取c=1,若序列出现循环则退出,计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n),若p=1则返回上一步继续迭代,否则跳出迭代过程。若p=n,则n为素数,否则p为n的一个约数,并递归分解p和n/p。
【小知识】:随机数生成
C++中函数srand(),可以指定不同的数(无符号整数变元)为种子。但是如果种子相同,伪随机数列也相同。
比较理想的是用变化的数,比如时间来作为随机数生成器的种子。 time的值每时每刻都不同,即种子不同,所以,产生的随机数也不同。
用法什么的想深入了解自己去搜吧,这里只要明白下面的程序中随机数是这样产生的就行了。然后,在这里再举个小栗子以加深一下对它的理解:
- #include <cstdio>
- #include <iostream>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- #include <cmath>
- #include <ctime>//这个必须有
- using namespace std;
- int main()
- {
- int a = 100;
- srand( time(NULL));
- while(a--)
- cout << rand() << endl;
- return 0;
- }
- //这个程序的作用是产生100个随机数
- //如果你和我一样有颗童心去多试几次的话你会发现——每次产生的随机数都不一样
- //噫 是不是狠有趣(。^▽^)
学了这么多是不是手痒了?别着急,点我有惊喜。
AC代码(C++【因为涉及到ctime,所以G++会RE的】):
[cpp] view plain copy
print ?
- /* *************************************************
- *
- * Miller_Rabin 算法进行素数测试
- * 速度快,可以判断一个 < 2^63 的数是不是素数
- *
- **************************************************/
- #include <cstdio>
- #include <iostream>
- #include <cstring>
- #include <algorithm>
- #include <cmath>
- #include <ctime>
- using namespace std;
- const int S = 8;//随机算法判定次数,一般8~10次就够了
- //计算ret = (a*b)%c a, b, c < 2^63
- long long mult_mod(long long a, long long b, long long c)
- {
- a %= c;
- b %= c;
- long long ret = 0;
- long long tem = a;
- while(b)
- {
- if(b & 1)
- {
- ret += tem;
- if(ret > c) ret -= c;//直接取模慢很多
- }
- tem <<= 1;
- if(tem > c) tem -= c;
- b >>= 1;
- }
- return ret;
- }
- //计算 ret = (a^n) % mod
- long long pow_mod(long long a, long long n, long long mod)
- {
- long long ret = 1;
- long long tem = a % mod;
- while(n)
- {
- if(n & 1) ret = mult_mod(ret, tem, mod);
- tem = mult_mod(tem, tem, mod);
- n >>= 1;
- }
- return ret;
- }
- // 通过 a^(n-1)=1(mod n)来判断n是不是素数
- // n-1 = x * 2^t 中间使用二次判断
- // 是合数返回true,不一定是合数返回false
- bool check(long long a, long long n, long long x, long long t)
- {
- long long ret = pow_mod(a, x, n);//a^x % n
- long long last = ret;
- for(int i = 1; i <= t; ++i)//进行t次(a^x % n)^2 % n
- {
- ret = mult_mod(ret, ret, n);
- if(ret == 1 && last != 1 && last != n - 1) return true;//合数
- last = ret;
- }
- if(ret != 1) return true;
- return false;//不一定是合数
- }
- //**************************************************
- // Miller_Rabin算法
- // 是素数返回true,(可能是伪素数)
- // 不是素数返回false
- //**************************************************
- bool Miller_Rabin(long long n)
- {
- if(n < 2) return false;
- if(n == 2) return true;
- if( (n&1) == 0) return false;//偶数
- long long x = n - 1;
- long long t = 0;
- while( (x&1) == 0) //将n分解为x*2^t;
- {
- x >>= 1;
- t++;
- }
- srand( time(NULL));
- for(int i = 0; i < S; ++i)
- {
- long long a = rand()%(n-1) + 1;//产生随机数a(并控制其范围在1 ~ n-1之间)
- if(check(a, n, x, t))//是合数
- return false;
- }
- return true;
- }
- //**********************************************
- //
- // pollard_rho 算法进行质因素分解
- //
- //*********************************************
- int tol;//质因数的个数,编号为0~tol-1
- long long factor[100];//质因素分解结果(刚返回时是无序的)
- long long gcd(long long a, long long b)
- {
- long long t;
- while(b)
- {
- t = a;
- a = b;
- b = t % b;
- }
- if(a >= 0) return a;
- return -a;
- }
- //找出一个因子
- long long pollard_rho(long long x, long long c)
- {
- long long i = 1, k = 2;
- srand( time(NULL));
- long long x0 = rand()%(x-1) + 1;//产生随机数x0(并控制其范围在1 ~ x-1之间)
- long long y = x0;
- while(1)
- {
- i++;
- x0 = (mult_mod(x0, x0, x) + c) % x;
- long long d = gcd(y - x0, x);
- if(d != 1 && d != x) return d;
- if(y == x0) return x;
- if(i == k)
- {
- y = x0;
- k += k;
- }
- }
- }
- //对n进行素因子分解,存入factor。 k设置为107左右即可
- void findfac(long long n, int k)
- {
- if(n == 1) return ;
- if(Miller_Rabin(n))//是素数就把这个素因子存起来
- {
- factor[tol++] = n;
- return ;
- }
- int c = k;
- long long p = n;
- while(p >= n)
- p = pollard_rho(p, c--);//值变化,防止陷入死循环k
- findfac(p, k);
- findfac(n/p, k);
- }
- int main()
- {
- int T;
- long long n;
- scanf("%d",&T);
- while(T--)
- {
- scanf("%lld",&n);
- if(Miller_Rabin(n)) cout << "Prime" << endl;
- else
- {
- tol = 0;
- findfac(n, 107);
- long long ans = factor[0];
- for(int i = 1; i < tol; ++i)
- ans = min(ans, factor[i]);
- cout << ans << endl;
- }
- }
- return 0;
- }
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