RE:StudyDiary——01背包(2020/8/28)

今天学习的是DP里面比较简单的一个问题——01背包
因为题目比较简单这里直接贴上

有 N 件物品和一个容量是 M 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

最简单的方法是用二维数组表示状态
f[i][j]表示装前i个物品总质量不大于j的最大价值
我们在选择装第i个物品时有两种选择
1.装第i个物品，则f[i][j] = f[i - 1][j - v[i]] + w[i]
2.不装第i个物品，则f[i][j] = f[i - 1][j]
于是我们可得状态方程

if(j < v[i]) //背包装不下第i个物品，我们选择不装
f[i][j] = f[i-1][j];
else .//背包可以装下第i个物品，我们要判断当前的最大价值来决定装不装
f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]] + w[i],f[i-1][j]);

当你了解上面的操作后，同学们就会发现，第i个物品的状态只于第i-1个物品的状态有关，所以我们可以对状态方程进行优化，优化后的方程f[j]表示总质量不大于j的最大价值
核心代码如下

 for(int i = 1;i <= n;i ++)for(int j = m;j >= v[i];j --)f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);

我们可以发现，关于j的循环我们是从大到小进行的，这是为了保证我们更新最大价值的时候状态一定是从i-1个物品取得的（不明白为什么取i-1的请仔细看上面）
举一个很简单的例子，如果我们从小到大循环，我们可能会出现下面的情况，我们先对f[20]进行了最大价值的更新（此时f[20]是处于装了第i个物品的状态），然后对f[23]进行更新，f[23]的更新是从f[20] + w[i]（假设第i个物品质量为3）处取得的，这样我们更新的f[23]并非从第i-1个物品的状态取得，而是第i个物品（相当于装了两个第i个物品）

最后贴一下AC的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>using namespace std;const int maxn = 1010;
int n,m;
int f[maxn];
int v[maxn],w[maxn];int main()
{cin >> n >> m;for(int i = 1;i <= n;i ++) cin>> v[i] >> w[i];for(int i = 1;i <= n;i ++)for(int j = m;j >= v[i];j --)f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);cout << f[m];return 0;
}

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