高等数学中必须掌握的基础知识（一）

2024-05-10 15:54:53

1.求导基本公式

${C}'=0%uFF1B {x^{n}}'=nx^{n-1}$

${x^{n}}'=nx^{n-1}$

${\ln|x|}'=\frac{1}{x}$

${\log _{a}x}'=\frac{1}{x\ln a}$

${sinx}'=cosx$

${tanx}'=\frac{1}{cos^{2}x}=sec^{2}x$

${cotx}'=-\frac{1}{sin^{2}x}=-csc^{2}x$

${\sec x}'=\sec x*\tan x$

${\csc x}'=-\csc x*\cot x$

${\arcsin }'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

${\arccos x}'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$

${\arctan x}'=\frac{1}{1+x^{2}}$

${\textrm{arccot} x}'=-\frac{1}{1+x^{2}}$

2.复合函数求导

${uv}'={u}'v+u{v}'$

${(\frac{u}{v})}'=\frac{{u}'v-u{v}'}{v^{2}}$

${f[g(x)]}'$ 的导数，令 $u=g(x)$ , ${f[g(x)]}'$ = ${f(u)}'*{u}'$

3.函数奇偶性判断

1).简单函数：从图像上看，奇函数关于远点对称，偶函数关于y轴对称；即奇函数满足 $f(x)=-f(-x)$ ；偶函数满足 $f(x)=f(-x)$ ，所以简单函数的奇偶性判断直接计算 $f(-x)$ 基本就可以判断了；

2).复杂函数：复杂函数可以分解成多个简单函数，然后根据奇偶函数四则运算规律：

奇函数±奇函数=奇函数
偶函数±偶函数=偶函数
奇函数×奇函数=偶函数
偶函数×偶函数=偶函数
偶函数÷奇函数=奇函数

注：以上两点前提是函数的定义域关于0点对称

4.极限

1).常用等价无穷小等价替换

当 $x\rightarrow 0$ 时：

①. $x\sim \sin x\sim \sin ^{-1}x\sim \tan x\sim \tan ^{-1}x\sim e^{x}-1 \sim \ln (1+x)$

②. $x^{2}+x\sim x$

③. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}x^{2}$

④. $(1+x)^{a}-1\sim ax$

⑤. $a^{x}-1\sim x\ln a$

⑥. $\log _{a}(1+x)\sim \frac{x}{\ln a}$

⑦. $(1+ax)^{\frac{m}{n}}-1\sim \frac{m}{n}ax$

⑧. $\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x$

2).重要极限

$\lim_{x\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{x})^{x}=e$

$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$

$\lim_{x\rightarrow \infty }(1-\frac{1}{x})^{x}=\frac{1}{e}$

$\lim_{x \to 0}(1-x)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{e}$

$\lim_{x \to \infty } \sqrt[n]{n}=1$

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