【机器学习】SVM中对函数间隔和几何间隔的理解

超平面表达式：

函数间隔 ：对于在超平面上的点， w x + b = 0 wx+b=0 wx+b=0 恒成立。而超平面之外的点，可以认为距离越远， w x + b wx+b wx+b 的绝对值越大，同时分类成功的概率也越高，表达式为：

几何间隔 ：顾名思义，几何间隔就是两条平行线之间的距离，表达式为：

考虑SVM的目标，是要使所有样本点中几何间隔的最小值尽可能大：

即最优化问题为：

将约束条件的左右两边同时乘以 ∣ ∣ w ∣ ∣ ||w|| ∣∣w∣∣，可以得到表达式： y i ( w ⋅ x i + b ) ≥ γ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ y_i(w·x_i+b)≥γ·||w|| yi(w⋅xi+b)≥γ⋅∣∣w∣∣

可以发现此时左边是函数间隔的表达式，回到函数间隔的本身意义，它表示空间中任一点到分类超平面 w ⋅ x i + b = 0 w·x_i+b=0 w⋅xi+b=0 的相对距离，如果对超平面表达式两边乘以一个系数，相当于对该平面作一个线性空间的映射，例如将 2 x + 2 = 0 2x+2=0 2x+2=0 的两端同时乘以 0.5 0.5 0.5，得到 x + 1 = 0 x+1=0 x+1=0，表示新的基底向量下的平面空间。

相应的，空间中任一点到该平面的相对距离也会成比例增加或者减小。因此，对于 y i ( w ⋅ x i + b ) ≥ γ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ y_i(w·x_i+b)≥γ·||w|| yi(w⋅xi+b)≥γ⋅∣∣w∣∣，相当于对于此超平面，空间中任一点到它的相对距离是 γ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ γ·||w|| γ⋅∣∣w∣∣。 假设我们站在上帝视角已经得到了一个超平面 w ⋅ x i + b = 0 w·x_i+b=0 w⋅xi+b=0，不妨对此超平面做一个映射，也就是令两端同时除以系数 γ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ γ·||w|| γ⋅∣∣w∣∣，映射到新的线性空间，那么点与平面的相对距离也是同时映射过去的，换句话说，映射操作不对点到平面的相对距离发生变化，因此可以在一开始就令 γ ⋅ ∣ ∣ w ∣ ∣ = 1 γ·||w||=1 γ⋅∣∣w∣∣=1

又由于最大化 γ γ γ 等价于最大化 1 ∣ ∣ w ∣ ∣ \frac{1}{||w||} ∣∣w∣∣1，等价于最小化 1 2 ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 \frac{1}{2}||x||^2 21∣∣x∣∣2， 1 2 \frac{1}{2} 21是为了方便后面求导

这时，SVM模型求约束下的最大分割超平面又可以表示成：

(根据以上的推导，这是映射到新线性空间后的表达式)

此时，经过我们一系列映射、转换的方式，原问题变成了含有不等式约束的凸二次规划问题。

可视化验证：
以下是某个模型对于两个测试集的svm分类结果，精度分别为1和0.9980：

当讲常数1改为100后，得到的分类结果如下：

精度分别为1和0.9980，与常数为100时一致，但是空间被拉伸，两条虚线之间的相对距离很大

当讲常数1改为0.01后，得到的分类结果如下

同时精度仍然为1和0.9980，常数为1时保持不变，但可以发现空间被压缩，两条虚线之间的距离非常小以至于看不见

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