菲尔兹奖得主再次突破数论难题：多少整数能写成2个有理数立方和？结论直接影响“千禧难题”之七...

Pine 萧箫发自凹非寺

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困扰数学界几个世纪的难题，终于有重大突破了！

这个难题如果被解决，会直接影响到一个著名未解之谜的求解——贝赫和斯维讷通-戴尔猜想。

贝赫和斯维讷通-戴尔猜想是数学界顶尖的7大千禧难题之一，有人为了证明它，悬赏过最高100万美元的奖金。

所以，究竟突破了什么难题？

求解一共有多少整数，能被写成2个有理数（整数和分数统称）的立方和。

例如整数13，就可以被“拆”成有理数7/3的立方、以及有理数2/3的立方总和：

看起来似乎不难，但数学家们在这几百年来关于它提出的各种猜想，却没有一个被真正、彻底地证实。

普林斯顿高等研究所的数学系教授Peter Sarnak对此感叹：

分析两个数的立方和，意味着研究的族（family，集的同义词）非常小，族越小意味着问题越难。

我只能说这个问题很难、特别难，答案几乎“遥不可及”。

但对于学界而言，这个问题的求解又至关重要。

它不仅是解决很多纯数学问题的核心突破口，在应用数学如密码学领域也颇受重视。

无证明，不数学。现在3位数学家再次朝这一难题发起挑战，并成功突破了关键瓶颈之一。

所以这个数学问题究竟难在哪里，数学家们又究竟如何取得了这一突破？

选择与三次方“死磕”

我们先来回看一下这个要解决的难题：

究竟有多少个整数，可以表达成有理数三次方和的形式？

这时可能会有盆友好奇，为什么数学家们要死磕三次方的和，而不是平方、四次方、五次方……呢？

答案也很简单——它更难，也更有用。

具体原因有以下三点：

其一，除了三次方之外，无论是小于它的二次方、还是大于它的N（N＞3）次方，有些问题已经被解决过了。

就拿二次方来说，已经有非常具体的方法来判断哪些整数能成为两个有理数的平方和。

这个方法是在17世纪早期，数学家阿尔伯特·吉拉德（Albert Girard）和皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）提出的，如果不符合这一条件，则整数不能用有理数二次方和表示。方法具体如下：

首先，将挑选的数字分解成质数幂的形式。以整数490为例，它可以被分解成下面这种形式：

然后，对分解后的质数进行检查：如果其中一个质因数除以4的余数为3，那么它的幂必须为偶数。只有这样，原来的数才能表示为有理数平方和。

这里7除以4余3，它的指数为2，符合偶数的要求，因此整数490可以用两个有理数平方和表示：

其二，基于上述条件，“能否被2个有理数立方和表示”也可能成为继奇数、偶数之外，又一个将整数有效分为两个阵营的分类方法。

毕竟数学家们推算过，发现能用有理数二次方和表示的整数比例很低，同理N次方（N＞3）也是。

相比之下，可以用三次方和表示的整数就非常丰富。

光是在1～100的整数里，就有59个能用两个有理数立方和来表示：

△蓝色数字可以写成两个有理数立方之和

这样的话，大约就有59%的整数能被2个有理数立方和表示，甚至有数学家猜想这个数值能被推广到所有整数范围中。

其三，数学家们研究这个问题也不仅仅是为了有一个新的整数划分方式，它还和数论中的“热门研究领域”椭圆曲线有关。

△椭圆曲线方程

椭圆曲线具有极其复杂的结构，这使它成为纯数学和应用数学等许多领域的中心，在密码学中也有很大的用处。

立方和问题，就是椭圆曲线中的一个特例。

△椭圆曲线，图源维基百科

如开头提到的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想，就是椭圆曲线领域的一个核心问题。

如果这一猜想成立，便能推断出符合上面1~100整数表现（即蓝色数字图）的结论：

在1000万个数字中，约有59%是两个有理数立方的总和。

不过，上面提出的这么多推断，绕来绕去也都只停留在猜想层面。

过去的几百年里，不少数学家试图揭开这个谜题，但要么无法得出结论，要么无法证明自己的推断是正确的。

它不像指数为2时，整数可以轻松被证明能否被拆解为两个有理数平方和（方法如上），毕竟指数为3时，没有确切的方法可以证明整数能否被拆解。

但尝试一个个“暴力拆解”整数又是不现实的。

因为在整个拆解过程中，涉及到的计算量巨大。

毕竟相较于拆成两个整数立方和，拆成两个分数立方和的难度要大得多……

举个栗子