计算机图形学（七）：三维对象的表示（分形图形的基本性质、递归模型、L系统模型）

分形图形的概念

分形图形的基本性质

分形图形的定义

分形维数的定义

分形图形的递归模型

分形图形的L系统模型

分形图形的概念

几何建模方法 - 百度文库

真实的世界并不规则，闪电不是直线，海岸线不是弧线，云团不是球体，山峦也不是锥体。自然界的许多对象是如此不规则和支离破碎，以致欧氏几何学不能真实有效地再现大自然。为了再现真实世界，必须选择新的工具，分形几何学应运而生。分形几何是以非规则物体为研究对象的几何学。由于闪电、海岸线、云团、山蛮、海浪、野草、森林、火光等非规则物体在自然界里比比皆是，因此分形几何学又被称为描述大自然的几何学。

分形图形的基本性质

1.自相似性

自相似性是指局部与整体相似的性质。在自然界中，具有自相似性的物体比比皆是，起伏的山蛮中一座座山峰和整体山脉，弯曲的河流中一个个支流和整体河川，茂密的树木上的一条条树权和整体树木等，均具有自相似性，如图8-3所示的是以类植物叶子上的细叶和整体叶子的相似性。

2.无标度性

标度是计量单位的刻度。比如长度的标度是米；重量的标度是公斤；面积的标度是平方米等。对欧氏几何学内的不同形体，可以选择不同的标度去度量。例如，直线是多长，面积是多大，体积是多少。自然界中很多的物体具有特征长度如人有高度、山有海拔等等。

分形图形的定义

一般认为，满足下列条件的图形称为分形集：

分形集具有任意尺度下的比例细节，或者说具有精细结构；
分形集是不规则的，以致于不能用传统的几何语言来描述。
分形集通常具有某种自相似性，或许是近似的或许是统计意义下的自相似。
分形集在某种方式下定义的“分维数”一般大于它的拓扑维数。
分形集的定义常常是非常简单的，或许是递归的。

分形维数的定义

维数是几何对象的一个重要特征量，它是欧氏几何学描述点的位置所需的独立坐标数目。为了定量地刻画分形，引入了分数维数的概念。分数维数与欧氏几何学中的整数维数相对应。

分形理论认为，维数中可以包含有小数。把分数维数记为D,一般称为分数维或分维。

分维的计算公式为：D = InN / InS

其中D代表分维，N为和整体自相似的局部形体个数，S为相似比，等于整体和局部之比。

注：分维的计算结果是两个参数的对数值之比，所以分维的计算结果不一定是整数。

(1) 对于直线：

将一直线段二等分，则N=2,S=2,所以，分维D=1

(2) 对于平面：

将正方形四等分，则N=4,S=2,所以，分维D=2

(3)对于立体：

将立方体八等分，N=8,S=2,所以，分维D=3

分形图形的递归模型

分形图形的传统实现模型是递归模型。在调用一个函数的过程中，直接或间接地调用函数自身，称为递归调用。例如n!可以采用递归模型实现。即5!=5×4!,而4!4×3!,……，1!=1,递归公式表示如下：

分形图形的L系统模型

Lindenmayer系统，简称L系统，是由荷兰Utrecht大学的生物学和植物学家，匈牙利裔的林登麦伊尔（Aristid Lindenmayer）于1968年提出的有关生长发展中的细胞交互作用的数学模型，尤其被广泛应用于植物生长过程的研究。

L-system是一系列不同形式的正规语法规则，多被用于植物生长过程建模，但是也被用于模拟各种生物体的形态。L-system也能用于生成自相似的分形，例如迭代函数系统。

L-system的自然递归规则导致自相似性，也因此使得分形一类形式可以很容易的使用L-system描述，定义如下：