状态空间建模

现代控制理论与传统方法的区别

现代控制方法

可以是多输入，多输出；这些输入输出可以是线性的、非线性的，时变的或者非时变的。
基本的时域频域分析法

传统控制方法

必须是单输入单输出，而且有一套复杂的频域分析方法。

状态

动态系统的状态定义是变量的最小集，但是却能够表征系统任意时刻的全部特征（也就是极大线性无关组）

状态变量

可理解为上述状态集合中的元素
关于状态变量的选择
状态变量的选择不是唯一的，“can be neither measurable nor observable“，这算是状态分析法的一个优点（自由选择组合）。
但是选择可以测量的特性是比较方便的，因为优化控制需要状态变量以合适的权重反馈回来。

状态向量

x=[x1,x2,…,xn]\boldsymbol x = [x_1,x_2,\dots,x_n]x=[x1,x2,…,xn]

状态空间

相当于把变量转化N维空间中的点（a point in state space）

状态空间等式

从积分器的角度出发，因为积分器具有记忆功能，所以可以把积分器的输出xxx作为状态变量看待，他们决定了系统的内部特性，综合考量状态xxx, 输入uuu与输出yyy, 结合积分特性，并对矩阵进行整体代换就得到我们常用的state equation与output equation.
x˙=Ax+Bu(1.1)\boldsymbol {\dot x}=\boldsymbol {Ax}+\boldsymbol {Bu} \tag{1.1}x˙=Ax+Bu(1.1)
y=Cx+Du(1.2)\boldsymbol {y}=\boldsymbol {Cx}+\boldsymbol {Du} \tag{1.2}y=Cx+Du(1.2)

一个简单的例子
这个例子好的地方就在于他是自动控制原理传统方法（依靠传递函数进行分析）的部分经常做到的一类模型题，用传递函数来做这个题也并不难，这里直接贴图。

下边上重点

传递函数与状态空间之间的关系

根据公式1.1与1.2，我们对两边进行拉氏变换：
sX(s)−X(0)=AX(s)+BU(s)s\boldsymbol X(s)-\boldsymbol X(0)=\boldsymbol {AX}(s)+\boldsymbol {BU}(s)sX(s)−X(0)=AX(s)+BU(s)
Y(s)=CX(s)+DU(s)\boldsymbol Y(s)=\boldsymbol {CX}(s)+\boldsymbol {DU}(s)Y(s)=CX(s)+DU(s)
如果我们考虑初始值为0，那么：
Y(s)=[C(sI−A)−1B+D]U(s)\boldsymbol Y(s)=[\boldsymbol {C}(s\boldsymbol {I-A})^{-1}\boldsymbol B+\boldsymbol {D}]\boldsymbol U(s)Y(s)=[C(sI−A)−1B+D]U(s)
于是我们便得到了G(s)G(s)G(s)的表达式。
G(s)G(s)G(s)的计算可以用伴随矩阵来实现:
G(s)=Q(s)∣sI−A∣(1.3)G(s)=\frac{Q(s)}{|s\boldsymbol {I-A}|} \tag{1.3}G(s)=∣sI−A∣Q(s)(1.3)
可是这个式子是怎么得到的呢？由于对于伴随矩阵的知识已经忘了个差不多，在Wikipedia上研究了一番，写在这里：

伴随矩阵（基础）

余子式

矩阵A关于第i行第j列的余子式，记为Mij\boldsymbol M_{ij}Mij时矩阵A去掉下标指定的行与列后得到的(n−1)×(n−1)(n-1) \times (n-1)(n−1)×(n−1)矩阵的行列式。

代数余子式

代数余子式只是在余子式的基础之上考虑了正负性，记为Cij=(−1)i+jMij\boldsymbol C_{ij}=(-1)^{i+j}\boldsymbol M_{ij}Cij=(−1)i+jMij.

余子矩阵

建立在上边两个概念之上，A\boldsymbol AA的余子矩阵C\boldsymbol CC的第i行第j列的元素是A\boldsymbol AA关于第i行第j列的代数余子式。(好像还有点拗口)

伴随矩阵

矩阵A\boldsymbol AA的伴随矩阵是矩阵A\boldsymbol AA的余子矩阵的转置矩阵：
adj(A)=CTadj(\boldsymbol A)=\boldsymbol C^Tadj(A)=CT
[adj(A)]ij=Cji[adj(\boldsymbol A)]_{ij}=\boldsymbol C_{ji}[adj(A)]ij=Cji

关键推论

首先我们摆一个拉普拉斯公式（这是线性代数里的，直到看到他我才知道自己学过。。。）。
拉普拉斯展开：
∣B∣=∑j=1nbijCij|\boldsymbol B|=\sum\limits_{j = 1}^n {{b_{ij}}{C_{ij}}}∣B∣=j=1∑nbijCij
这里b是元素，C是代数余子式。
我们把元素b与代数余子式C分别对应到矩阵A与伴随矩阵adj(A)中，进而考察Aadj(A)\boldsymbol A adj(\boldsymbol A)Aadj(A),那么（用a代替b）：
Aadj(A)\boldsymbol A adj(\boldsymbol A)Aadj(A)==第i行第i列（相当于i与j相等）==的系数就是∑j=1naijCij\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{C_{ij}}}j=1∑naijCij
如果i≠ji \ne ji=j,Aadj(A)\boldsymbol A adj(\boldsymbol A)Aadj(A)第i行第j列的系数为：
∑k=1naikCjk\sum\limits_{k = 1}^n {{a_{ik}}{C_{jk}}} k=1∑naikCjk
它的值是0（相当于把第j行元素换成第i行元素后求行列式，有两行相同，则det(A)=0det(\boldsymbol A)=0det(A)=0）。
于是，
Aadj(A)=det(A)I\boldsymbol A adj(\boldsymbol A)=det(\boldsymbol A)\boldsymbol IAadj(A)=det(A)I
两边乘上A的逆矩阵，我们便得到(1.3)式的计算结果。

还是那个例子

话不多说直接贴图：

变换矩阵

这小节考虑的是多输入多输出的情况，在这里不单独列出，我们只要把原来的传递函数变成一个矩阵就可以了。

状态空间利用差分方程表示

n阶系统线性差分方程（强制输入无导数项）的状态方程表示：
y(n)+a1y(n−1)+…+an−1y˙+any=u(1.4)\mathop y\limits^{(n)} + {a_1}\mathop y\limits^{(n - 1)} + \ldots + {a_{n - 1}}\dot y + {a_n}y = u\tag{1.4}y(n)+a1y(n−1)+…+an−1y˙+any=u(1.4)
我们可以看到y与u共同决定了t≥0t\ge0t≥0时的系统的所有行为。所以把左侧这n个值作为系统的n个状态变量。但是在实际应用中，可能会出现问题，因为高阶导数是不准确的，因为任何的实际应用中，都会有附加噪声的干扰。
这里主要的问题就是我们常用的状态方程系数的矩阵表示公式是怎么得出来的，上课老师在黑板上划来划去我是啥也没看懂，还是得自己看书。
因为y和他的1至n阶导数已经作为了状态变量，于是我们做如下定义：x1=y,x2=y˙,...,xn=y(n−1)x_1=y, x_2=\dot y, ..., x_n=\mathop y\limits^{(n-1)}x1=y,x2=y˙,...,xn=y(n−1).之后我们对这一系列的等式进行替换，把(1.4)中所有含有y的项都替换为x，即：

x˙1=x2x˙2=x3...x˙n−1=xnx˙n=−anx1−…−a1xn+u\begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}\\ {{\dot x}_2} = {x_3}\\ {\rm{ }}...\\ {{\dot x}_{n - 1}} = {x_n}\\ {{\dot x}_n} = - {a_n}{x_1} - \ldots - {a_1}{x_n} + u \end{array}x˙1=x2x˙2=x3...x˙n−1=xnx˙n=−anx1−…−a1xn+u
这样就能够很简单的转化为矩阵形式：

由于y=x1y=x_1y=x1，输出为：

下边我们来考虑右侧输入有导数项的情况，其实原理是一样的，但是这里首先要考虑的问题是：我们如何才能把这些讨厌的导数项给去掉？因为根据我们之前推出的状态方程与输入输出方程表达式，显然不会有输入uuu的导数项写进去。我们先看系统差分方程：

y(n)+a1y(n−1)+…+an−1y˙+any=b0u(n)+b1u(n−1)+⋯+bn−1u˙+bnu\mathop y\limits^{(n)} + {a_1}\mathop y\limits^{(n - 1)} + \ldots + {a_{n - 1}}\dot y + {a_n}y = b_0\mathop u\limits^{(n)}+b_1\mathop u\limits^{(n-1)}+ \dots +b_{n-1}\dot u+b_nuy(n)+a1y(n−1)+…+an−1y˙+any=b0u(n)+b1u(n−1)+⋯+bn−1u˙+bnu
我们仍然先设定状态变量，只不过这里要做一下变形，并且涉及到了先将b转化为β\betaβ的表达形式

下边我们就要用上边这些定义结合差分方程表达式来求状态方程：
这里为了详细说明，直接来看一道例题：

我们需要通过给出的定义式来尝试求出上边的状态方程。
首先我们可以根据x2x_2x2与x3x_3x3的定义得到：

那么我们要求x˙3\dot x_3x˙3。根据x3=y¨−β0u¨−β1u¨−β2ux_3=\ddot y-\beta_0\ddot u-\beta_1\ddot u-\beta_2ux3=y¨−β0u¨−β1u¨−β2u，于是我们可以对x3x_3x3求导化简，即：

这样我们便可以根据之前的方法得到状态方程和输出方程表达式了。
现在我们转回n维的理论推导，所以我们能够得到：

表示成矩阵形式：

我们也可以从这里直接看出矩阵A,B,C,D分别对应的值。这样，包含强迫输入端包含导数的情况也就被解决了，起始我们此时对应地传递函数形式为：
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bnsn+a1sn−1+...+an−1s+an\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}s + {a_n}}}U(s)Y(s)=sn+a1sn−1+...+an−1s+anb0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn
也就是我们最常用的传递函数形式。

矩阵表示状态方程的其他几种形式

Controllable Canonical Form

在研究系统极点配置相关问题时，这种形式比较重要。

Observable Canonical Form

Diagonal Canonical Form

如果我们之前得出的传递函数有n个不同的极点，即：
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn(s+p1)(s+p2)...(s+pn)=b0+c1s+p1+c2s+p2+…+cns+pn\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{(s + {p_1})(s + {p_2})...(s + {p_n})}} = {b_0} + \frac{{{c_1}}}{{s + {p_1}}} + \frac{{{c_2}}}{{s + {p_2}}} + \ldots + \frac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}}U(s)Y(s)=(s+p1)(s+p2)...(s+pn)b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn=b0+s+p1c1+s+p2c2+…+s+pncn
那么此时我们可以采用这种表示方法：

Jordan Canonical Form

如果存在多重极点：
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn(s+p1)3(s+p4)...(s+pn)=b0+c1(s+p1)3+c2(s+p1)2+c3(s+p1)+c4s+p4+…+cns+pn\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{{(s + {p_1})}^3}(s + {p_4})...(s + {p_n})}} = {b_0} + \frac{{{c_1}}}{{{{(s + {p_1})}^3}}} + \frac{{{c_2}}}{{{{(s + {p_1})}^2}}} + \frac{{{c_3}}}{{(s + {p_1})}} + \frac{{{c_4}}}{{s + {p_4}}} + \ldots + \frac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}}U(s)Y(s)=(s+p1)3(s+p4)...(s+pn)b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn=b0+(s+p1)3c1+(s+p1)2c2+(s+p1)c3+s+p4c4+…+s+pncn

关于Jordan标准型：
若尔当标准型是某个线性映射在有限维向量空间上的特别的矩阵表达形式，它接近对角矩阵；除了主对角线和主对角线上方元素之外，其余都是0；且主对角线上方的对角线的系数如果不为0，则只能为1；而且这个1在左方和下方的系数都具有相同的值（都在主对角线上）。
基于这个特性，我们可以看到上图给出的矩阵形式的的确确是一个若尔当标准型。

这些模型究竟是怎么得到的？

写了这么多，就是为了给自己建立一个完整的知识架构，下面这个问题是我主要想关注的问题。因为特殊时期，老师上网课，讲的实在是一头雾水，什么虚拟输出法，对偶实现。。。名字起的很玄乎，我们就直接上推导：

controllable canonical form(可控规范)
考察
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bnsn+a1sn−1+...+an−1s+an\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}s + {a_n}}}U(s)Y(s)=sn+a1sn−1+...+an−1s+anb0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn
我们想提出一个常数项，可写为：

那么我们令：
Y(s)=b0U(s)+Y∧(s)Y(s) = {b_0}U(s) + \mathop Y\limits^ \wedge (s)Y(s)=b0U(s)+Y∧(s)
这其实就是我们说的“虚拟输出法”，这里建立了一个虚拟的输出函数，用来做代换。于是：

我们考察上边这个式子，移项：

对第二个等号，分母乘到右边，并对虚拟输出函数做处理：

在得到上边这两个式子之后，我们可以开始定义新的状态变量：
X1(s)=Q(s)X2(s)=sQ(s)...Xn−1(s)=sn−2Q(s)Xn(s)=sn−1Q(s)\begin{array}{l} {X_1}(s) = Q(s)\\ {X_2}(s) = sQ(s)\\ ...\\ {X_{n - 1}}(s) = {s^{n - 2}}Q(s)\\ {X_n}(s) = {s^{n - 1}}Q(s) \end{array}X1(s)=Q(s)X2(s)=sQ(s)...Xn−1(s)=sn−2Q(s)Xn(s)=sn−1Q(s)
很明显，他们满足sX1(s)=X2(s),sX2(s)=X3(s)...,sXn−1(s)=Xn(s)sX_1(s)=X_2(s), sX_2(s)=X_3(s)..., sX_{n-1}(s)=X_n(s)sX1(s)=X2(s),sX2(s)=X3(s)...,sXn−1(s)=Xn(s)
则：
x˙1=x2x˙2=x3...x˙n−1=xn\begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2}\\ {{\dot x}_2} = {x_3}\\ ...\\ {{\dot x}_{n - 1}} = {x_n} \end{array}x˙1=x2x˙2=x3...x˙n−1=xn
在我们开始定义状态变量之前我们建立的两个函数中，注意到：
snQ(s)=sXn(s)s^nQ(s)=sX_n(s)snQ(s)=sXn(s)
式子就变化为：

(9-75)这个方程意味着我们终于凑齐了状态变量的n个表达式，也就是状态空间方程这个时候已经可以列出来了，下边还要处理一下输入输出方程，我们回去找找Y(s)Y(s)Y(s)：

先把Q(s)根据状态变量的定义，换成X(s),
Y(s)=b0U(s)+(b1−a1b0)Xn(s)+...+(bn−1−an−1b0)X2(s)+(bn−anb0)X1(s)Y(s) = {b_0}U(s) + ({b_1} - {a_1}{b_0}){X_n}(s) + ... + ({b_{n - 1}} - {a_{n - 1}}{b_0}){X_2}(s) + ({b_n} - {a_n}{b_0}){X_1}(s)Y(s)=b0U(s)+(b1−a1b0)Xn(s)+...+(bn−1−an−1b0)X2(s)+(bn−anb0)X1(s)
于是：

输出方程也完成了推导，我们回去看一下之前定义的可控规范型：

OK!
observable canonical form(可观测规范)
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bnsn+a1sn−1+...+an−1s+an\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{s^n} + {a_1}{s^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}s + {a_n}}}U(s)Y(s)=sn+a1sn−1+...+an−1s+anb0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn
还是这个方程。
把方程变成这种形式：
sn[Y(s)−b0U(s)]+sn−1[a1Y(s)−b1U(s)]+...+s[an−1Y(s)−bn−1U(s)]+anY(s)−bnU(s)=0{s^n}[Y(s) - {b_0}U(s)] + {s^{n - 1}}[{a_1}Y(s) - {b_1}U(s)] + ... + s[{a_{n - 1}}Y(s) - {b_{n - 1}}U(s)] + {a_n}Y(s) - {b_n}U(s) = 0sn[Y(s)−b0U(s)]+sn−1[a1Y(s)−b1U(s)]+...+s[an−1Y(s)−bn−1U(s)]+anY(s)−bnU(s)=0
两边同时除以sns^nsn
Y(s)=b0U(s)+1s[b1U(s)−a1Y(s)]+...+1sn−1[bn−1U(s)−an−1Y(s)]+1sn[bnU(s)−anY(s)](1.5)Y(s) = {b_0}U(s) + \frac{1}{s}[{b_1}U(s) - {a_1}Y(s)] + ... + \frac{1}{{{s^{n - 1}}}}[{b_{n - 1}}U(s) - {a_{n - 1}}Y(s)] + \frac{1}{{{s^n}}}[{b_n}U(s) - {a_n}Y(s)]\tag{1.5}Y(s)=b0U(s)+s1[b1U(s)−a1Y(s)]+...+sn−11[bn−1U(s)−an−1Y(s)]+sn1[bnU(s)−anY(s)](1.5)
定义状态变量如下：
Xn(s)=1s[b1U(s)−a1Y(s)+Xn−1(s)]Xn−1(s)=1s[b2U(s)−a2Y(s)+Xn−2(s)]...X2(s)=1s[bn−1U(s)−an−1Y(s)+X1(s)]X1(s)=1s[bnU(s)−anY(s)](1.6)\begin{array}{l} {X_n}(s) = \frac{1}{s}[{b_1}U(s) - {a_1}Y(s) + {X_{n - 1}}(s)]\\ {X_{n - 1}}(s) = \frac{1}{s}[{b_2}U(s) - {a_2}Y(s) + {X_{n - 2}}(s)]\\ ...\\ {X_2}(s) = \frac{1}{s}[{b_{n - 1}}U(s) - {a_{n - 1}}Y(s) + {X_1}(s)]\\ {X_1}(s) = \frac{1}{s}[{b_n}U(s) - {a_n}Y(s)] \end{array}\tag{1.6}Xn(s)=s1[b1U(s)−a1Y(s)+Xn−1(s)]Xn−1(s)=s1[b2U(s)−a2Y(s)+Xn−2(s)]...X2(s)=s1[bn−1U(s)−an−1Y(s)+X1(s)]X1(s)=s1[bnU(s)−anY(s)](1.6)
由上式，(1.5)可以写作如下形式：
Y(s)=b0U(s)+Xn(s)(1.7)Y(s)=b_0U(s)+X_n(s)\tag{1.7}Y(s)=b0U(s)+Xn(s)(1.7)
把(1.7)带入(1.6)，

拉氏反变换：

同时根据(1.7)得到输出方程：
y=xn+b0uy=x_n+b_0uy=xn+b0u
比对一下要求结果：

OK!
diagonal canonical form(对角规范)
此时我们的方程变化为：
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn(s+p1)(s+p2)...(s+pn)=b0+c1s+p1+c2s+p2+…+cns+pn\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{(s + {p_1})(s + {p_2})...(s + {p_n})}} = {b_0} + \frac{{{c_1}}}{{s + {p_1}}} + \frac{{{c_2}}}{{s + {p_2}}} + \ldots + \frac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}}U(s)Y(s)=(s+p1)(s+p2)...(s+pn)b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn=b0+s+p1c1+s+p2c2+…+s+pncn
在把U(s)U(s)U(s)移到等式右边后，直接设置状态变量：
X1(s)=1s+p1U(s)X2(s)=1s+p2U(s)...Xn(s)=1s+pnU(s)\begin{array}{l} {X_1}(s) = \frac{1}{{s + {p_1}}}U(s)\\ {X_2}(s) = \frac{1}{{s + {p_2}}}U(s)\\ ...\\ {X_n}(s) = \frac{1}{{s + {p_n}}}U(s) \end{array}X1(s)=s+p11U(s)X2(s)=s+p21U(s)...Xn(s)=s+pn1U(s)
到了这一步如何获得导数形式呢？我们要把s乘到左边去：

经过拉普拉斯反变换：

输出方程可以直接根据之前Y(s)Y(s)Y(s)的表达式写出：
Y(s)=b0U(s)+c1X1(s)+c2X2(s)+...+cnXn(s)Y(s){\rm{ }} = {\rm{ }}{b_0}{\rm{ }}U(s){\rm{ }} + {\rm{ }}{c_1}{\rm{ }}{X_1}(s){\rm{ }} + {\rm{ }}{c_2}{\rm{ }}{X_2}(s){\rm{ }} + {\rm{ }}...{\rm{ }} + {\rm{ }}{c_n}{\rm{ }}{X_n}(s)Y(s)=b0U(s)+c1X1(s)+c2X2(s)+...+cnXn(s)
再进行拉氏反变换即可得到：

注意这里如果我们在选取状态变量时带上常数c也可以，只是最后涉及到一个参数系数的变化。
OK!
Jordan canonical form(若尔当规范)
此时我们的差分方程为：
Y(s)U(s)=b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn(s+p1)3(s+p4)...(s+pn)=b0+c1(s+p1)3+c2(s+p1)2+c3(s+p1)+c4s+p4+…+cns+pn\frac{{Y(s)}}{{U(s)}} = \frac{{{b_0}{s^n} + {b_1}{s^{n - 1}} + ... + {b_{n - 1}}s + {b_n}}}{{{{(s + {p_1})}^3}(s + {p_4})...(s + {p_n})}} = {b_0} + \frac{{{c_1}}}{{{{(s + {p_1})}^3}}} + \frac{{{c_2}}}{{{{(s + {p_1})}^2}}} + \frac{{{c_3}}}{{(s + {p_1})}} + \frac{{{c_4}}}{{s + {p_4}}} + \ldots + \frac{{{c_n}}}{{s + {p_n}}}U(s)Y(s)=(s+p1)3(s+p4)...(s+pn)b0sn+b1sn−1+...+bn−1s+bn=b0+(s+p1)3c1+(s+p1)2c2+(s+p1)c3+s+p4c4+…+s+pncn
我们还是按照之前的方法l设定状态变量：

写到这里我们发现一个问题，对于前几个状态，我们不能直接像对角规范那里的推导，把s提到等式左边来，因为还有指数的存在。那我们的目标就是消除指数，于是我们将他们除一下：

于是：

拉氏反变换：

输出方程我们还是根据之前的差分方程展开形式推导：

老规矩，对比下结果：

这样，基本的内容就对着书给捋了个差不多，剩下些重要性质，接着来看下。

矩阵对角化相关

这个性质证明要用到后边的知识，先占个坑。

特征值不变性

这个性质的意思是说∣λI−A∣|\lambda I - A|∣λI−A∣的特征多项式与∣λI−P−1AP∣|\lambda I - P^{-1}AP|∣λI−P−1AP∣的特征多项式相同（等价）。
证明：

特征值不变其实也就说明了系统的稳定性不会改变（极点不变）。

状态变量集合的不唯一性

这个性质可以由上个性质的结果看出，意味着我们只要选择一个合适的矩阵PPP,就可以得到另一个矩阵AAA,即：
x∧=Px\mathop x\limits^ \wedge = Pxx∧=Px
我们可以通过状态方程与输出方程来证明这个性质：

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现代控制工程-状态空间（正在更新）