机器学习-朴素贝叶斯算法

简介
NaïveBayes算法，又叫朴素贝叶斯算法，朴素：特征条件独立；贝叶斯：基于贝叶斯定理。属于监督学习的生成模型，实现简单，没有迭代，并有坚实的数学理论（即贝叶斯定理）作为支撑。在大量样本下会有较好的表现，不适用于输入向量的特征条件有关联的场景。

基本思想
(1)病人分类的例子
某个医院早上收了六个门诊病人，如下表：

症状　　职业　　　疾病
——————————————————
打喷嚏　护士　　　感冒
打喷嚏　农夫　　　过敏
头痛　　建筑工人　脑震荡
头痛　　建筑工人　感冒
打喷嚏　教师　　　感冒
头痛　　教师　　　脑震荡

现在又来了第七个病人，是一个打喷嚏的建筑工人。请问他患上感冒的概率有多大？
根据贝叶斯定理：

P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)

可得

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
= P(打喷嚏x建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏x建筑工人)

假定”打喷嚏”和”建筑工人”这两个特征是独立的，因此，上面的等式就变成了

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
= P(打喷嚏|感冒) x P(建筑工人|感冒) x P(感冒) / P(打喷嚏) x P(建筑工人)

这是可以计算的。

P(感冒|打喷嚏x建筑工人)
= 0.66 x 0.33 x 0.5 / 0.5 x 0.33
= 0.66

因此，这个打喷嚏的建筑工人，有66%的概率是得了感冒。同理，可以计算这个病人患上过敏或脑震荡的概率。比较这几个概率，就可以知道他最可能得什么病。

这就是贝叶斯分类器的基本方法：在统计资料的基础上，依据某些特征，计算各个类别的概率，从而实现分类。

(2)朴素贝叶斯分类器的公式
假设某个体有n项特征（Feature），分别为F1、F2、…、Fn。现有m个类别（Category），分别为C1、C2、…、Cm。贝叶斯分类器就是计算出概率最大的那个分类，也就是求下面这个算式的最大值：

P(C|F1F2...Fn) = P(F1F2...Fn|C)P(C) / P(F1F2...Fn)

由于 P(F1F2…Fn) 对于所有的类别都是相同的，可以省略，问题就变成了求

P(F1F2...Fn|C)P(C)

的最大值。
朴素贝叶斯分类器则是更进一步，假设所有特征都彼此独立，因此

P(F1F2...Fn|C)P(C) = P(F1|C)P(F2|C) ... P(Fn|C)P(C)

上式等号右边的每一项，都可以从统计资料中得到，由此就可以计算出每个类别对应的概率，从而找出最大概率的那个类。
虽然”所有特征彼此独立”这个假设，在现实中不太可能成立，但是它可以大大简化计算，而且有研究表明对分类结果的准确性影响不大。

(3)拉普拉斯平滑（Laplace smoothing）
也就是参数为1时的贝叶斯估计，当某个分量在总样本某个分类中（观察样本库/训练集）从没出现过，会导致整个实例的计算结果为0。为了解决这个问题，使用拉普拉斯平滑/加1平滑进行处理。
它的思想非常简单，就是对先验概率的分子（划分的计数）加1，分母加上类别数；对条件概率分子加1，分母加上对应特征的可能取值数量。这样在解决零概率问题的同时，也保证了概率和依然为1。

eg：假设在文本分类中，有3个类，C1、C2、C3，在指定的训练样本中，某个词语F1，在各个类中观测计数分别为=0，990，10，即概率为P(F1/C1)=0，P(F1/C2)=0.99，P(F1/C3)=0.01，对这三个量使用拉普拉斯平滑的计算方法如下：
1/1003 = 0.001，991/1003=0.988，11/1003=0.011

实际应用场景
文本分类
垃圾邮件过滤
病人分类
拼写检查

朴素贝叶斯模型
朴素贝叶斯常用的三个模型有：
高斯模型：处理特征是连续型变量的情况
多项式模型：最常见，要求特征是离散数据
伯努利模型：要求特征是离散的，且为布尔类型，即true和false，或者1和0

代码实现
基于多项式模型的朴素贝叶斯算法（在github获取）

# encoding=utf-8import pandas as pd
import numpy as np
import cv2
import timefrom sklearn.cross_validation import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score# 二值化处理
def binaryzation(img):cv_img = img.astype(np.uint8)  # 类型转化成Numpy中的uint8型cv2.threshold(cv_img, 50, 1, cv2.THRESH_BINARY_INV, cv_img)  # 大于50的值赋值为0,不然赋值为1return cv_img# 训练，计算出先验概率和条件概率
def Train(trainset, train_labels):prior_probability = np.zeros(class_num)                         # 先验概率conditional_probability = np.zeros((class_num, feature_len, 2))   # 条件概率#  计算for i in range(len(train_labels)):img = binaryzation(trainset[i])     # 图片二值化，让每一个特征都只有0，1两种取值label = train_labels[i]prior_probability[label] += 1for j in range(feature_len):conditional_probability[label][j][img[j]] += 1# 将条件概率归到[1,10001]for i in range(class_num):for j in range(feature_len):# 经过二值化后图像只有0，1两种取值pix_0 = conditional_probability[i][j][0]pix_1 = conditional_probability[i][j][1]# 计算0，1像素点对应的条件概率probalility_0 = (float(pix_0)/float(pix_0+pix_1))*10000 + 1probalility_1 = (float(pix_1)/float(pix_0+pix_1))*10000 + 1conditional_probability[i][j][0] = probalility_0conditional_probability[i][j][1] = probalility_1return prior_probability, conditional_probability# 计算概率
def calculate_probability(img, label):probability = int(prior_probability[label])for j in range(feature_len):probability *= int(conditional_probability[label][j][img[j]])return probability# 预测
def Predict(testset, prior_probability, conditional_probability):predict = []# 对每个输入的x，将后验概率最大的类作为x的类输出for img in testset:img = binaryzation(img)  # 图像二值化max_label = 0max_probability = calculate_probability(img, 0)for j in range(1, class_num):probability = calculate_probability(img, j)if max_probability < probability:max_label = jmax_probability = probabilitypredict.append(max_label)return np.array(predict)class_num = 10  # MINST数据集有10种labels，分别是“0,1,2,3,4,5,6,7,8,9”
feature_len = 784  # MINST数据集每个image有28*28=784个特征（pixels）if __name__ == '__main__':print("Start read data")time_1 = time.time()raw_data = pd.read_csv('../data/train.csv', header=0)  # 读取csv数据data = raw_data.valuesfeatures = data[::, 1::]labels = data[::, 0]# 避免过拟合，采用交叉验证，随机选取33%数据作为测试集，剩余为训练集train_features, test_features, train_labels, test_labels = train_test_split(features, labels, test_size=0.33, random_state=0)time_2 = time.time()print('read data cost %f seconds' % (time_2 - time_1))print('Start training')prior_probability, conditional_probability = Train(train_features, train_labels)time_3 = time.time()print('training cost %f seconds' % (time_3 - time_2))print('Start predicting')test_predict = Predict(test_features, prior_probability, conditional_probability)time_4 = time.time()print('predicting cost %f seconds' % (time_4 - time_3))score = accuracy_score(test_labels, test_predict)print("The accruacy score is %f" % score)

测试数据集为MNIST数据集，获取地址train.csv

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