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  ICP 即 Iterative Closest Point，迭代最近点。已知三维点在两个坐标系中的坐标，求这两个坐标系的变换关系，称为 ICP 问题。

1. SVD 求 ICP

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1.1 构造最小二乘问题

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  假设从空间坐标系 O1O_1O1​ 到空间坐标系 O2O_2O2​ 的变换是 (R,t⃗)(R, \vec t \,)(R,t)，p1ip_1^ip1i​ 是空间点在坐标系 O1O_1O1​ 中的坐标，p2ip_2^ip2i​ 是空间点在坐标系 O2O_2O2​ 中的坐标。

图 1 ICP 问题

  一对匹配的空间点经过位姿变换的误差是

ei=p2i−(R⋅p1i+t⃗)(1)e_i = p_2^i - (R \cdot p_1^i + \vec t \,) \tag{1} ei​=p2i​−(R⋅p1i​+t)(1)

使用 n 对空间点的变换误差构造最小二乘问题

min⁡R,t⃗J=12∑i=1n∣∣p2i−(R⋅p1i+t⃗)∣∣22(2)\min_{R, \vec t} J = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || p_2^i - (R \cdot p_1^i + \vec t \,) ||_2^2 \tag{2} R,tmin​J=21​i=1∑n​∣∣p2i​−(R⋅p1i​+t)∣∣22​(2)

  基于 SVD 的 ICP 算法就是通过求解上面的最小二乘问题得到位姿变换 (R,t⃗)(R, \vec t \,)(R,t)。求和的每一项是一个二范数的平方，表示二范数的下标可以省略。

1.2 求解最小二乘问题

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  下面求解公式 (2)。首先定义质心坐标

{p1=1n∑i=1np1ip2=1n∑i=1np2i\left\{\begin{aligned} p_1 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_1^i \\ p_2 &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_2^i \end{aligned}\right. ⎩⎨⎧​p1​p2​​=n1​i=1∑n​p1i​=n1​i=1∑n​p2i​​

注意，空间点坐标与质心坐标的区别是有无上标。那么

12∑i=1n∣∣p2i−(R⋅p1i+t⃗)∣∣2=12∑i=1n∣∣p2i−R⋅p1i−t⃗∣∣2=12∑i=1n∣∣p2i−R⋅p1i−t⃗−p2+R⋅p1+p2−R⋅p1)∣∣2=12∑i=1n∣∣[p2i−p2−R⋅(p1i−p1)]+(p2−R⋅p1−t⃗)∣∣2=12∑i=1n{∣∣p2i−p2−R⋅(p1i−p1)∣∣2+∣∣p2−R⋅p1−t⃗∣∣2+2[p2i−p2−R⋅(p1i−p1)]T(p2−R⋅p1−t⃗)}=12∑i=1n[∣∣p2i−p2−R⋅(p1i−p1)∣∣2+∣∣p2−R⋅p1−t⃗∣∣2].(3)\begin{aligned} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || p_2^i - (R \cdot p_1^i + \vec t) ||^2 & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || p_2^i - R \cdot p_1^i - \vec t||^2 \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || p_2^i - R \cdot p_1^i - \vec t - p_2 + R \cdot p_1 + p_2 - R \cdot p_1) ||^2 \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || [p_2^i - p_2 - R \cdot ( p_1^i - p_1)] + (p_2 - R \cdot p_1 - \vec t) ||^2 \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \{|| p_2^i - p_2 - R \cdot ( p_1^i - p_1) ||^2 + ||p_2 - R \cdot p_1 - \vec t ||^2 \\ &+ 2[p_2^i - p_2 - R \cdot (p_1^i - p_1)]^T (p_2 - R \cdot p_1 - \vec t)\} \\ & = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n [|| p_2^i - p_2 - R \cdot ( p_1^i - p_1) ||^2 + ||p_2 - R \cdot p_1 - \vec t ||^2]. \end{aligned} \tag{3} 21​i=1∑n​∣∣p2i​−(R⋅p1i​+t)∣∣2​=21​i=1∑n​∣∣p2i​−R⋅p1i​−t∣∣2=21​i=1∑n​∣∣p2i​−R⋅p1i​−t−p2​+R⋅p1​+p2​−R⋅p1​)∣∣2=21​i=1∑n​∣∣[p2i​−p2​−R⋅(p1i​−p1​)]+(p2​−R⋅p1​−t)∣∣2=21​i=1∑n​{∣∣p2i​−p2​−R⋅(p1i​−p1​)∣∣2+∣∣p2​−R⋅p1​−t∣∣2+2[p2i​−p2​−R⋅(p1i​−p1​)]T(p2​−R⋅p1​−t)}=21​i=1∑n​[∣∣p2i​−p2​−R⋅(p1i​−p1​)∣∣2+∣∣p2​−R⋅p1​−t∣∣2].​(3)

公式 (3) 的推导用到了二范数。交叉项 2[p2i−p2−R⋅(p1i−p1)]T(p2−R⋅p1−t⃗)2[p_2^i - p_2 - R \cdot (p_1^i - p_1)]^T (p_2 - R \cdot p_1 - \vec t)2[p2i​−p2​−R⋅(p1i​−p1​)]T(p2​−R⋅p1​−t) 累加后为 0，因此被舍弃。

  公式 (3) 可以看成两项相加的形式：第 1 项是第一个二范数累加，这一项只与旋转矩阵 RRR 有关；第 2 项是第二个二范数累加，这一项与 RRR 和平移向量 t⃗\vec tt 都有关。因此可以令第 1 项为 0 求得 RRR，再令第 2 项为 0 求得 t⃗\vec tt。

1.3 求位姿

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  假设 p1ip_1^ip1i​ 和 p2ip_2^ip2i​ 的去质心坐标分别是

{q1i=p1i−p1q2i=p2i−p2\left\{\begin{aligned} q_1^i &= p_1^i - p_1 \\ q_2^i &= p_2^i - p_2 \end{aligned}\right. {q1i​q2i​​=p1i​−p1​=p2i​−p2​​

那么，令公式 (3) 的第 1 项为 0，就是

12∑i=1n∣∣q2i−R⋅q1i∣∣2=0\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n || q_2^i - R \cdot q_1^i||^2 = 0 21​i=1∑n​∣∣q2i​−R⋅q1i​∣∣2=0

于是，求旋转矩阵就是求最小二乘问题

R∗=argmin⁡R12∑i=1n∣∣q2i−R⋅q1i∣∣2R^* = arg \min_{R} \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n ||q_2^i - R \cdot q_1^i||^2 R∗=argRmin​21​i=1∑n​∣∣q2i​−R⋅q1i​∣∣2

  求解 R∗R^*R∗ 的推理比较复杂，这里只给出计算方法：

{W=∑i=1n(q2i⋅q1iT)W=UΣVTR∗=UVT\left\{\begin{aligned} W &= \sum_{i=1}^{n} (q_2^i \cdot {q_1^i}^T) \\ W &= U \Sigma V^T \\ R^* &= U V^T \end{aligned}\right. ⎩⎨⎧​WWR∗​=i=1∑n​(q2i​⋅q1i​T)=UΣVT=UVT​

即，对求得的 W 进行 SVD 分解，得到 U 和 V，进而得到 R∗R^*R∗。然后令公式 (3) 的第二项为 0 即可求得平移向量

t∗=p2−R∗⋅p1t^* = p_2 - R^* \cdot p_1 t∗=p2​−R∗⋅p1​

2. 例子

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2.1 代码实现

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  下面是 ORB_SLAM2 的 EPnP 算法中，使用 SVD 求解 ICP 的代码：

// SVD 求解 ICP 问题：世界坐标系到相机坐标系的变换。
void PnPsolver::estimate_R_and_t(double R[3][3], double t[3]) {// 1. 求质心坐标 pc0、pw0。double pc0[3], pw0[3];pc0[0] = pc0[1] = pc0[2] = 0.0;pw0[0] = pw0[1] = pw0[2] = 0.0;for (int i = 0; i < number_of_correspondences; i++) {const double *pc = pcs + 3 * i;const double *pw = pws + 3 * i;for (int j = 0; j < 3; j++) {pc0[j] += pc[j];pw0[j] += pw[j];}}for (int j = 0; j < 3; j++) {pc0[j] /= number_of_correspondences;pw0[j] /= number_of_correspondences;}// 2. W = pc x pw^T.double abt[3 * 3];CvMat ABt = cvMat(3, 3, CV_64F, abt);cvSetZero(&ABt);for (int i = 0; i < number_of_correspondences; i++) {double *pc = pcs + 3 * i;double *pw = pws + 3 * i;for (int j = 0; j < 3; j++) {abt[3 * j + 0] += (pc[j] - pc0[j]) * (pw[0] - pw0[0]);abt[3 * j + 1] += (pc[j] - pc0[j]) * (pw[1] - pw0[1]);abt[3 * j + 2] += (pc[j] - pc0[j]) * (pw[2] - pw0[2]);}}// 3. ABt = ABt_U x ABt_D x ABt_V^T.double abt_d[3], abt_u[3 * 3], abt_v[3 * 3];CvMat ABt_D = cvMat(3, 1, CV_64F, abt_d);CvMat ABt_U = cvMat(3, 3, CV_64F, abt_u);CvMat ABt_V = cvMat(3, 3, CV_64F, abt_v);cvSVD(&ABt, &ABt_D, &ABt_U, &ABt_V, CV_SVD_MODIFY_A);// R = ABt_U x ABt_V^T.for (int i = 0; i < 3; i++)for (int j = 0; j < 3; j++)R[i][j] = dot(abt_u + 3 * i, abt_v + 3 * j);// 旋转矩阵的行列式要大于 0。const double det =R[0][0] * R[1][1] * R[2][2] + R[0][1] * R[1][2] * R[2][0] + R[0][2] * R[1][0] * R[2][1] -R[0][2] * R[1][1] * R[2][0] - R[0][1] * R[1][0] * R[2][2] - R[0][0] * R[1][2] * R[2][1];if (det < 0) {R[2][0] = -R[2][0];R[2][1] = -R[2][1];R[2][2] = -R[2][2];}// t = pc0 - R x pw0.t[0] = pc0[0] - dot(R[0], pw0);t[1] = pc0[1] - dot(R[1], pw0);t[2] = pc0[2] - dot(R[2], pw0);
}

2.2 实例分析

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  下面我们具体分析一个例子。假设从坐标系 O1O_1O1​ 到坐标系 O2O_2O2​ 的位姿变换是

R=[010−100001]t⃗=[0−10]R = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \quad \quad \vec t = \left[ \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{matrix} \right] R=⎣⎡​0−10​100​001​⎦⎤​t=⎣⎡​0−10​⎦⎤​

1. 空间点在变换前后的坐标系中的坐标：

O1O_1O1​	O1O_1O1​
p11=(−4,2,1)Tp_1^1=(-4,2,1)^Tp11​=(−4,2,1)T	p21=(2,3,1)Tp_2^1=(2,3,1)^Tp21​=(2,3,1)T
p12=(1,2,3)Tp_1^2=(1,2,3)^Tp12​=(1,2,3)T	p22=(2,−2,3)Tp_2^2=(2,-2,3)^Tp22​=(2,−2,3)T
p13=(1,3,2)Tp_1^3=(1,3,2)^Tp13​=(1,3,2)T	p23=(3,−2,2)Tp_2^3=(3,-2,2)^Tp23​=(3,−2,2)T
p14=(2,1,1)Tp_1^4=(2,1,1)^Tp14​=(2,1,1)T	p24=(1,−3,1)Tp_2^4=(1, -3, 1)^Tp24​=(1,−3,1)T
p15=(−1,4,2)Tp_1^5=(-1,4,2)^Tp15​=(−1,4,2)T	p25=(4,0,2)Tp_2^5=(4, 0, 2)^Tp25​=(4,0,2)T
p16=(7,0,3)Tp_1^6=(7,0,3)^Tp16​=(7,0,3)T	p26=(0,−8,3)Tp_2^6=(0, -8, 3)^Tp26​=(0,−8,3)T

1. 空间点的质心坐标：

O1O_1O1​	O2O_2O2​
p1=(1,2,2)Tp_1=(1,2,2)^Tp1​=(1,2,2)T	p2=(2,−2,2)Tp_2=(2,-2,2)^Tp2​=(2,−2,2)T

1. 空间点的去质心坐标：

O1O_1O1​	O2O_2O2​
q11=(−5,0,−1)Tq_1^1=(-5,0,-1)^Tq11​=(−5,0,−1)T	q21=(0,5,−1)Tq_2^1=(0,5,-1)^Tq21​=(0,5,−1)T
q12=(0,0,1)Tq_1^2=(0,0,1)^Tq12​=(0,0,1)T	q22=(0,0,1)Tq_2^2=(0,0,1)^Tq22​=(0,0,1)T
q13=(0,1,0)Tq_1^3=(0,1,0)^Tq13​=(0,1,0)T	q23=(1,0,0)Tq_2^3=(1,0,0)^Tq23​=(1,0,0)T
q14=(1,−1,−1)Tq_1^4=(1,-1,-1)^Tq14​=(1,−1,−1)T	q24=(−1,−1,−1)Tq_2^4=(-1,-1,-1)^Tq24​=(−1,−1,−1)T
q15=(−2,2,0)Tq_1^5=(-2,2,0)^Tq15​=(−2,2,0)T	q25=(2,2,0)Tq_2^5=(2,2,0)^Tq25​=(2,2,0)T
q16=(6,−2,1)Tq_1^6=(6,-2,1)^Tq16​=(6,−2,1)T	q26=(−2,−6,1)Tq_2^6=(-2,-6,1)^Tq26​=(−2,−6,1)T

1. 矩阵 WWW：

W=∑i=16q2i⋅q1iT=[−1710−1−6617−1010−14]W = \sum_{i=1}^6 q_2^i \cdot {q_1^i}^T = \left[ \begin{matrix} -17 & 10 & -1 \\ -66 & 17 & -10 \\ 10 & -1 & 4 \end{matrix} \right] W=i=1∑6​q2i​⋅q1i​T=⎣⎡​−17−6610​1017−1​−1−104​⎦⎤​

1. 矩阵 WWW 奇异值分解：

W=[−0.26310.8835−0.3876−0.9540−0.17840.24100.14380.43320.8898]⋅[72.19470006.07780001.7275]⋅[0.9540−0.26310.14380.17840.88350.4332−0.2410−0.38760.8898]TW = \left[ \begin{matrix} -0.2631 & 0.8835 & -0.3876 \\ -0.9540 & -0.1784 & 0.2410 \\ 0.1438 & 0.4332 & 0.8898 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 72.1947 & 0 & 0 \\ 0 & 6.0778 & 0 \\ 0 & 0& 1.7275 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 0.9540 & -0.2631 & 0.1438 \\ 0.1784 & 0.8835 & 0.4332 \\ -0.2410 & -0.3876 & 0.8898 \end{matrix} \right] ^T W=⎣⎡​−0.2631−0.95400.1438​0.8835−0.17840.4332​−0.38760.24100.8898​⎦⎤​⋅⎣⎡​72.194700​06.07780​001.7275​⎦⎤​⋅⎣⎡​0.95400.1784−0.2410​−0.26310.8835−0.3876​0.14380.43320.8898​⎦⎤​T

1. 旋转矩阵 RRR：

R=[−0.26310.88350.3876−0.9540−0.1784−0.24100.14380.4332−0.8898]⋅[0.9540−0.26310.14380.17840.88350.43320.24100.3876−0.8898]T=[010−100001]⋅R= \left[ \begin{matrix} -0.2631 & 0.8835 & 0.3876 \\ -0.9540 & -0.1784& -0.2410 \\ 0.1438 & 0.4332& -0.8898 \end{matrix} \right] \cdot \left[ \begin{matrix} 0.9540 & -0.2631 & 0.1438 \\ 0.1784 & 0.8835 & 0.4332 \\ 0.2410 & 0.3876& -0.8898 \end{matrix} \right] ^T = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0& 1 \end{matrix} \right] \cdot R=⎣⎡​−0.2631−0.95400.1438​0.8835−0.17840.4332​0.3876−0.2410−0.8898​⎦⎤​⋅⎣⎡​0.95400.17840.2410​−0.26310.88350.3876​0.14380.4332−0.8898​⎦⎤​T=⎣⎡​0−10​100​001​⎦⎤​⋅

1. 平移向量 t⃗\vec tt：

t⃗=p−R⋅p′=(0,−1,0)T\vec t = p - R \cdot p' = (0,-1,0)^Tt=p−R⋅p′=(0,−1,0)T

  上面就是用三维点在两个坐标系中的坐标，通过奇异值分解，求两个坐标系变换关系的过程。

2.3 使用 Eigen 库

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  Eigen 是一个开源的C++线性代数库，这里使用它帮助我们进行矩阵运算。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <Eigen/SVD>using namespace std;
using namespace cv;void pose_estimation_3d3d(const vector<Point3f>& pts1,const vector<Point3f>& pts2) {// 求质心坐标Point3f p1, p2;int N = pts1.size();for(int i=0; i<N; i++) {p1 += pts1[i];p2 += pts2[i];}p1 = Point3f(Vec3f(p1) / N);p2 = Point3f(Vec3f(p2) / N);// 求去质心坐标vector<Point3f> q1(N), q2(N);for(int i=0; i<N; i++) {q1[i] = pts1[i] - p1;q2[i] = pts2[i] - p2;}// 求和: W = E(q1 * q2^T)Eigen::Matrix3d W = Eigen::Matrix3d::Zero();for(int i=0; i<N; i++) {W += Eigen::Vector3d(q1[i].x, q1[i].y, q1[i].z) *Eigen::Vector3d(q2[i].x, q2[i].y, q2[i].z).transpose();}cout << "W=" << endl << W << endl << endl;// 对W进行SVD分解Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix3d> svd(W, Eigen::ComputeFullU|Eigen::ComputeFullV);Eigen::Matrix3d U = svd.matrixU();Eigen::Matrix3d V = svd.matrixV();cout << "U=" << endl << U << endl << endl;cout << "V=" << endl << V << endl << endl;// 求REigen::Matrix3d R = U * (V.transpose());cout << "R=" << endl << fixed << setprecision(2) << R << endl << endl;// 求tEigen::Vector3d t = Eigen::Vector3d(p1.x, p1.y, p1.z) - R * Eigen::Vector3d(p2.x, p2.y, p2.z);cout << "t=" << endl << t << endl;
}int main (int argc, char** argv) {vector<Point3f> pts1, pts2;pts1.push_back(Point3f(2, 3, 1));pts1.push_back(Point3f(2, -2, 3));pts1.push_back(Point3f(3, -2, 2));pts1.push_back(Point3f(1, -3, 1));pts1.push_back(Point3f(4, 0, 2));pts1.push_back(Point3f(0, -8, 3));pts2.push_back(Point3f(-4, 2, 1));pts2.push_back(Point3f(1, 2, 3));pts2.push_back(Point3f(1, 3, 2));pts2.push_back(Point3f(2, 1, 1));pts2.push_back(Point3f(-1, 4, 2 ));pts2.push_back(Point3f(7, 0, 3));pose_estimation_3d3d(pts1, pts2);
}

  如果使用 CMake 编译，可以参考这个 CMakeLists.txt。

cmake_minimum_required(VERSION 2.8)
project(SVD)find_package(OpenCV 3.1 REQUIRED)include_directories( ${OpenCV_INCLUDE_DIRS} "/usr/include/eigen3/"
)add_executable(svd svd.cpp)
target_link_libraries(svd ${OpenCV_LIBS}
)

3. 参考

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1. 奇异值分解求旋转矩阵，知乎专栏。

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