【控制】傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导

傅里叶系列（二）傅里叶变换的推导

我们先把傅里叶级数转换为指数形式：
三角函数形式：
f(t)=a02+∑n=1∞[ancos⁡(nωt)+bnsin⁡(nωt)]（1）f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(n \omega t) + b_n \sin(n \omega t)] （1）f(t)=2a0+n=1∑∞[ancos(nωt)+bnsin(nωt)]（1）

a0=2T∫t0t0+Tf(t)dt（2）a_0 = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T}f(t) dt （2）a0=T2∫t0t0+Tf(t)dt（2）

an=2T∫t0t0+Tf(t)cos⁡(nωt)dt（3）a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \cos(n \omega t) dt （3）an=T2∫t0t0+Tf(t)cos(nωt)dt（3）

an=2T∫t0t0+Tf(t)sin⁡(nωt)dt（4）a_n = \frac{2}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} f(t) \sin(n \omega t) dt （4）an=T2∫t0t0+Tf(t)sin(nωt)dt（4）

代入欧拉公式：
eiθ=cos⁡(θ)+isin⁡(θ)e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)eiθ=cos(θ)+isin(θ)

可以变形为：
cos⁡(θ)=eiθ+e−iθ2\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}cos(θ)=2eiθ+e−iθ

sin⁡(θ)=eiθ−e−iθ2i=−i⋅eiθ−e−iθ2\sin(\theta) = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i} = -i \cdot \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}sin(θ)=2ieiθ−e−iθ=−i⋅2eiθ−e−iθ

将 sin⁡(θ)、cos⁡(θ)\sin(\theta)、\cos(\theta)sin(θ)、cos(θ) 代入傅里叶级数求得：

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