极限论总极难学真因：人有抵制思想混乱学说本能

——为伟大科学家莱布尼茨远超后人地使用无穷数光辉实践正名

黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）

【摘要】由“一一配对”常识证明客观存在无穷数，从而化解300年无穷小危机与消除百年糊涂话。正无穷小ρ<ε所取各正数ρ都<ε。用而不知地百年失察此类起决定性作用的正数ρ<ε使极限论存在百年尖锐自相矛盾，从而总极难学难教，进而使资深教授专家也被误导而说出最不应说出的糊涂话：ρ>0可<任何一个正数。

[关键词]无穷大自然数及其倒数；无穷小正数<ε；极限论；尖锐自相矛盾；300年无穷小危机；莱布尼茨；钱学森

国家总理非常重视与揪心钱学森提出的老是‘冒’不出杰出人才问题。杰出人才的突出特征是敢于不人云亦云提出与众不同的观点、敢逆向思维不迷信盲从举世公认的“权威真理”从而“能在常人都认为最不成问题的问题中发现重大问题。”。但其老是被压下去而无法‘冒’出。

摧残人的智力与学力的应试教育等，使学生只顾背书以取高分而不敢：思考质疑和凡事多问几个为什么？从而极重要的发现问题的能力被人为地压下去了；也使某些编辑按潜规则办事而只敢发表随大流的文章。丘成桐说他开讲座时，中国学生提的学术问题很少，不知是否平时对学术问题思考不够。（文汇报,2004-6-22）“思考、研究考试没有的学术问题，对应付考试没意义且浪费时间。”啊！

不少为分数而学的学生舍本逐末地以为不求甚解只为分数地将极限定义背得滚瓜烂熟就是学会极限论了，当然就不感到极限论难学。而那些学习认真、为追求真理而学，从而不肯盲从、敢思考问题“认死理”（成为杰出人才的必要素质）的人就截然相反了：“我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的^[1]。”“不少人在模仿例题作了很多习题后，仍对极限定义感到格格不入，不能很自然地运用极限定义去分析和证明问题。”(洪允楣、洪允征《工程师思考法——洞察、分析、构思》213页,科普出版社,1992) “大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量时间与精力还是不知其所云，严重阻碍了科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。

1.太浅显“一一配对”常识证实太惊人真相：存在名亡实存的无穷大自然数及其倒数

显然有起码逻辑学常识：已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换妻”必还是可一一配对。

故凡～非0自然数集N的集G的元都必可有“配偶”∈N，一个不漏！故G=N～N的偶数元2n都有配偶n∈N（所有配偶n=1，2，…组成V）的同时G的奇数元也都可有配偶a_n∈N，显然这类与N的奇数一样多的a_n只能是V外标准无穷大自然数>V的一切n——推翻了自识正整数多得写不完的5千年来一直举世公认的“无自然数能>V的一切n”，证明V只是N的一半！如[2]所述，一目了然：

{…，3，1，（2，4，…，2n，…}=G=上N

{…，a₂，a₁，（1，2，…，n，…}=下N

下N内小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。

莱布尼茨：“虽然人们经常使用的只是通常的数，并没有引进任何无限小或分母无限大的数，但它们却是同时存在的^[3]。”（因回答不了别人的质疑，其也曾…）世界数学大师欧拉在一片反对声中超越前、后人地“顽固”坚信：任何级数不管是否发散都有一个确定的和或值。（张文修《数林漫步》25页，陕西科技出版社，1984）显然若欧拉猜想“∑1是一无穷大自然数或超自然数”被证实以及给莱大师远超后人地使用无穷数光辉实践提供理论依据破解只能使用却无法“引进无限小数”这一2千几百年世界难题，则是数学发展史上的重大转折与飞跃。

2.极限论极难学的真因：常人抵制思想混乱的理论——百年失察起决定性作用的数使极限论自相矛盾

在一片“经近二百年奋斗才建立的极限论严密精确、无懈可击、非常成熟。”的叫好声中，有少数人却发现事实恰恰相反。例如裴尔斯很有代表性地断言：“无穷小思想是无矛盾的…在极限与无穷小两种方法之间我作为一个数学家更倾向于无穷小方法。因为这一方法较为容易且较少地导致困境^[4]。”振聋发聩！敦冬梅、张明虎、尚士民都指出存在“极限疑难”，不识无穷数就无法脱离困境^[5][6]。师教民指出：“标准分析法比起无穷小分析法来是一个历史的倒退^[7]。”黄小宁指出极限论有百年糊涂话^[8]。肉眼下蛋壳天衣无缝，显微镜下却是漏洞百出的。最关键要弄清h问题：j式

0＜正无穷小ρ=1/n＜“任意取定”的正数ε

中的ε是在哪一范围内任意取（给、指）定的数？能否在所有正数中任意取定？不能说清此一不通则百不通的问题就表明极限论是含混不清的。“在全球任意指定一人，都须遵守中国法律。”应改为“在中国范围…”说明…；同理，不明确取数范围行吗？极限论将“0 <任何正数”化简为繁为：在所有正数中任意给定一个正数ε必有0 <ε。同样，说在（0，1）内任意给定一个正数ε必有ρ<ε就是说ρ可<任何正数。

极限论本身间接肯定有正数<ε：断定{1/n}中“从某项起以后的各正数项1/n都<ε”。j式表达ρ所取各正数ρ均 <ε。“可从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε的ρ>0称为正无穷小”——此定义点明没<ε的正数ρ就没正无穷小变数ρ，从而就更无标准分析；否定此类起决定性作用的正数ρ<ε使数学自相矛盾，从而必化简为繁、化清为浊，使人不知其所云，正如2500年前数学家对无理数用而不知一样。又：（0，1）=D有下确界0，而下确界定义断定在D中至少有一正数x＜0+ε。有书本改为^[9]：若对任何正数b>0，D中有正数x<b（任何正数）则0是D的下确界。——隐含病句：有正数x<任何正数。

显然正数x＜ε的极限都是0＜ε的极限。

然而极限论又说无正数＜ε：①“任何正数x的极限都是x而非0” 暗含此意：任何正数都不能<ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数。②“任何非0数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数＜ε而使常人百年不察极限论的这一尖锐自相矛盾：有总取正数的ρ<ε，却又无正数ρ＜ε；而一直未能真懂极限论。③[10]书4页赤裸裸地明确断定：一确定的正数不可能<任意小的正数ε。④常见此推理：由非负数p＜ε推知p必=0。例如“若对任意ε＞0均有|A|＜ε，则必有A=0^[11]。”（纵观全书这里的ε就是极限论中的ε）的推理依据是：在非负实数中只有0才能＜ε。“|a–b|=…<2ε。由ε> 0的任意性知a–b= 0”（李成章等《数学分析（2版）上册》25页，科学出版社，2004）。⑤注意到a≤b等价于a-b≤0和a<b+ε等价于a-b<ε以及极限论认定ε与cε（c是有限正数）都表示“任取的正数”，就可知[12]书中有许多这样的推理：

由测度a-测度b<ε推知a-b≤0

其推理依据是：只有0与负数才能<ε。

若有必要，老师们会在课堂上讲述许多书本所没有的也许编者认为是太浅显而不愿收入书本的内容：函数f在（-1，1）=D上连续指的是它在其上每一点连续。在D上任意取定一点x，只要证明f在x连续就可以了^[10]。按此逻辑，说“在（0，1）中或所有正数中任意取定一正数ε都有ρ＜ε”就是说ρ可＜每一正数。因为ε是取值范围内的任意一个数。

对h问题有：刘玉琏等《数学分析讲义学习辅导书（上）第二版》（高教出版社，2003）33页：ε∈（0，1）=D——表示j式的ε是可在D内“任意取定”的正数。许品芳等《高等数学（上）》5页：“对于任何正数ε”“ε代表着任何一个正数”（兵器工业出版社，1992）。上述“无正数＜ε”=只有非正数及可取非正数的变数才可＜ε。于是j式是一目了然的百年糊涂话：①说ρ>0可取非正数。于是又有“ρ是变量而不是数”，但至少可取两数的ρ是变量而不可取数的“鬼魂”ρ不是变量，数与数之间才能比较大小，而非数ρ竟也>0——越辩解就越混乱啊！②说代表正数的ρ可比任何一个正数都小——病句！

有“著名数学家”很有代表性地说总取正数不断变小的无穷小“必是从一个正数开始，越变越小，且越过任何正数而靠近0（但达不到0）^[13]”即说j式中的ρ可取正数ρ<任何正数。谁能接受这一“高深”理论啊？！这是其百年来总极难学难教严重拖了学习物理等相关学科后腿的真正原因——因常人都有天生拒绝接受思想混乱学说的本能（为了考试人们不得不扼杀此本能）。

针对极限论的教学改革百年来一直没有停止，不少人以为将“任何正数ε”改为 “任意取定的正数ε”就可消除上述百年糊涂话。殊不知学习认真、勤思考、不肯盲从与舍本逐末、敢于打破沙锅问到底的杰出而非平庸学生一定会“钻牛角尖”提考试没有的学术问题：取数的范围是什么？是在（1，2）内任取？还是…内任取？（能取数者都有一个取值范围的问题，故编书者特意说“给定”而不说“取定”。）据变量定义ε是变量，凡变量必有变域及必可固定一下，ε的变域是什么？…？解答不了这些基本问题的极限论远谈不上“无懈可击、逻辑严谨”。数学的严密性要求讲清j式中的ε表示什么？不能含糊不清。[8]指出：能由j式中的ε代表的数的全体E就是此ε的变域，j式表达ρ可< E内任何（所有）ε，因为ε代表了一切可由其代表的数。这说明存在不可由此ε代表的正数ρ< E内所有ε。

连续函数y=f（x），△x=x-x₀=0时，△y/△x=A没有任何意义，不能代表任何数——小学生都知的最起码数学常识。然而竟有堂堂正规杂志发表贾长勤的“论文^[14]”（该文介绍贾的研究方向是微积分基础理论）认为只要定义A“是f在x₀点的导数。…。”就可“彻底取消无穷小和极限概念”。这犹如说只要定义0=100就可破解千年著名世界难题了那么荒唐啊！其实按此定义y在x点的微分df=A△x≡0（导数×0必=0），这显然是自相矛盾（在微积分中∫dy=y+c中的微分dy 起着极其重要的作用，例如常须求f（x）在一点x邻近的性态、结构就须求非0的△f=df+d²f/2！+…的主要部分。在定积分中不首先求出相应△y≈？根本就不能写出积分式来）。丢掉df 概念，如何分析f在一点邻近的性态？但这也从一侧面说明极限论是使人感到非除去不可的“魔鬼”，且会使科研人犯极低级错误。看来贾在学习标准数学时一定感到非常别扭与痛苦。他与审稿专家可能误认为既然令人无法理解的极限论都是“严密精确”的数学，我们怎么就不可以定义常人无法理解的c/0是实数？人们既然可接受极限论，那当然就也可接受“c/0是实数”。

3.证实“无穷数与通常数同时存在”才能化解300年无穷小危机与消除极限论百年糊涂话

实际上改为“任何有穷正数ε”就消除糊涂话了。“物质的无限可分性决定了有长≠0但又短至不能与任何有穷数ε对应的无穷短直线段^[2]。”其实，与宇宙相比地球就是无穷小天体。产生上述糊涂话的症结是因5千年来一直不能证明有无穷大自然数等无穷数而致有深深偏见“任何数都是有穷数”。

鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数^[15]。”表明莱大师超越后人地敏锐不否定有正数＜ε而不陷入自相矛盾。著名数学史家M·克莱因感慨万千：“伟大人物的直觉比凡人的推演论证更可靠。”（[15]书166页）

标准分析之前2千多年的数学一直使用未经严格证明的无穷数进行推理计算轻而易举地攻克了不用无穷数就无法解决的一系列世界难题，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；太伟大的实践往往远远超前理论2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而非由那些长于做出严格证明的人们。”（[15]书323页）当理论无法解释伟大实践时恰恰表明理论有重大缺陷，不能反而由理论来否定无穷数。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击^[8]。”

如[2]所述，有超常直觉的莱布尼茨远超理论地使用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代无穷小法而否定有无穷小正数＜ε。以上表明柯西等人实际上用“地下”的、明否暗用的无穷小正数取代了莱布尼茨的明说明用的无穷小正数。所造成的严重恶果之一是：使资深教授专家也说出最不应说出的上述糊涂话。故“无穷小危机被化解”是有历史局限性的常规科学百年无力识破的假象。如[8]所述，若病人隐瞒了关键事实，医生就无法知道他得何病；若数学家将在微积分中起关键作用的无穷小数转入“地下”，使清晰真相被模糊了，回天乏术的别人就无法学得进微积分，反而以为极限论者智力超群，凡人的学习能力太差了。

[16]的第1节：“本文第六节揭示标准分析从前门拒绝了无穷数从而‘化解了无穷小危机’，然而又从后门‘神不知、鬼不觉地溜进’了明否暗用的起决定性作用的无穷小正数＜ε，这是其与非标准分析等价的原因。拨乱反正地明用无穷数后微积分就易学易教了。” 前文证明了无穷数的客观存在性。

“纠正了无穷小变量定义的自相矛盾后，半分钟就能真懂极限概念：永非A的x→A是说两者的距离ρ>0能变至恒取无穷小正数ρ<相应的所有ε^[8]。”

4.结语

数学否定客观存在的起关键作用的无穷小正数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。钟南山院士及许多医生敢于坚持真理从而挽救了许多人的生命。

行之极有效的无穷小法中的无穷数“假说”犹如中医用了几千年的行之极有效的经络“假说”。常规科学一直无力证明其是“真说”恰恰表明常规科学有重大缺陷，不能迷信常规科学——其光辉成就掩盖了它的重大历史局限性，使人不知其不可是检验真理的标准。超越常规科学太远的太伟大科学太易遭太渺小的“科学警察”诬蔑为危害太重大的伪科学啊！

参考文献

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[16]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然

数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，

科技信息（学术版），2008（21）。

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