必知C++算法之排列组合基本操作

概率组合题目分类

1.高中数学为基础的古典概率计算方法

2.斐波那契数列和卡特兰数

6x9的方格，从左上角到右下角，每次只能向下或向右，一共多少种不同走法

一共13步，五步向下，剩下8步向右

组合问题C13 5= C13 8=1287种

ABCDEFG七人站队，A必须在B的左边，求不要求相邻与必须相邻有多少种排法

不要求相邻：7!/2 = 2520种

要求相邻:把AB看成一个人即可，6!=720种

六个人排成一排，要求甲与乙不相邻，并且甲与丙不相邻的排法数是多少

方法一：

6个人全排列6! = 720

甲乙相邻(甲乙看成一个人)：2*5! = 240

甲丙相邻：2*5!=240

甲与乙和丙都相邻的重复减去了一份(甲乙丙看成一个人)：2*4! = 48

答案：720-240-240+48 = 288种

方法二：

甲在最左侧72种

同理，右侧72种

甲在中间4个任意位置，左右两边的可从非乙丙人员的3个人中抽2个（6种）

6x3！=36种，一共4个位置，36x4=144种

总数=72+72+144 = 288种

10颗相同的糖果，分给3个人，每人至少一颗，问有多少种分法

运用隔板法：

10个糖果中间的位置为9个，插入2个隔板，分成3分即可

组合问题故为36种

10个不同的球，放入三个桶中

每个球有3种选择，故此为3的10次方 = 59049种

有10颗糖，如果每天至少吃一颗，吃完为止，问有多少种不同的吃法

一天吃完：1种

二天吃完（用插板法）：C9 1

三天吃完：C9 2

…

运用二项式定理的内容累加所有方法

2的9次方 = 512种

合法左括号与右括号问题

左括号数量为n,右括号数量为n,总排列数位C2n n

左括号设为1

右括号设为-1

可以证明，每一个非法的排列通过变换公式，都可以得到n+1个1和n-1个-1所组成的排列。

所以不合法的排列数=n+1个1和n-1个-1组成的排列数C2n n+1或者C2n n-1

合法排列数为=C2n n - C2n n+1 = 1/(n+1)*C2n n [著名的卡特兰重要公式之一 ]

n个数进出栈的顺序有多少种？假设栈容量无限大

进栈当作左括号，出栈当作右括号，即可用以上一题来解答了

2n个人排队买票，n个人拿5块钱，n个人拿10块钱，票价是5块钱一张，售票员手里没有零钱，问多少种排队方法让售票员可以顺利卖票

5块钱必须够用来找零，故此让拿5块钱的相当于左括号，拿10块钱的相当于右括号即可

求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构？

假设n个无差别的节点构成不同的结构数为f(n)

f(0) =1,f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = 5时

f(n) = f(0)xf(n-1)+f(1)xf(n-2)+f(3)xf(n-4)+…+f(n-1)xf(0) = 1/(n+1)xC2n n

卡特兰数重要公式2

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须从矮到高，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列有多少种

隐藏很深的卡特兰数问题

0：第一排

1：第二排

任意一个前缀不能出现1比0多的情况

有n个信封，包含n封信，现在把信拿出来，再装回去，要求每封信不能装回它原来的信封，问有多少种装法？

对于n封信按照题目要求的装法即为f(n)

假设第n封信放入了第i个信封

情况一：第i封信也放入了第n个信封中，后续为f(n-2)

情况二：第i封信没有放入第n个信封中，后续为f(n-1)

n封信放入i个信封，i的选择有n-1种

所以总数为f(n) = (n-1)x(f(n-1)+f(n-2))