J-Linkage clustering算法的一点理解

1.J-Linkage算法的简介

J-Linkage算法是一种自底向上的一种层次聚类的算法，当然还有很多评价每个聚类距离的算法，例如simple linkage, complete linkage and average linkage，这些感兴趣的小伙伴可以自己查阅相关的资料。

原文题目’Robust Multiple Structures Estimation with J-linkage’。以论文中的例子说明算法要达到的效果：
这里就以三维点的平面拟合进行举例分析

我们的目标是要拟合出三维空间点对应的三个平面，能实现该功能的算法也有不少，这里介绍下J-linkage算法是如何实现的，介绍J-linkage算法之前，需要了解Ransac算法的原理，具体内容可参考LZ的另外一篇文章http://blog.csdn.net/felaim/article/details/76422803，或者这一篇http://grunt1223.iteye.com/blog/961063。

其实思想也很简单：ransac算法是要找到样本数据中满足某种模型的最大数据集合。这里的最大是指集合的数据个数。J-linkage算法是要找到多个数据集合，以上图为例，目的是要找到3个数据集合，每个数据集合能拟合出一个平面。

首先提出一个定义：（Jaccard distance）给定两个集合A和B，the jaccard distance是

dJ(A,B)=|A⋃B|−|A⋂B||A⋃B|d_J(A, B) = \frac {|A\bigcup B|-|A\bigcap B|}{|A\bigcup B|}

jaccard distance评价了两个集合的重叠程度，范围是从0（同一个集合）到1（完全独立的集合），这里截止的值被设为1，这也就意味着算法把有重叠部分的preference set（PS） link起来。所以聚类的点有以下两个性质：
（1）对于每个聚类，至少存在一个模型包含所有在PS的点（i.e.,一个可以拟合所有数据的模型）
（2）一个模型不可能存在于PS中两个不同聚类的点集（否则他们就会被link）。
每个聚类的点定义至少一个模型，如果更多的模型拟合一个聚类的所有点，那么他们肯定很相似。最后利用最小二乘算法估计每个聚类的模型。

异常点会融合成比较小的聚类，通常情况下，会根据不同的应用，可以设置不同的阈值。如果异常点所占的百分比是已知的或者是可以估计的（正如RANSAC假设的一样），我们是可以拒绝所有最小的聚类直到把异常点全部剔除。

J-linkage算法的流程是：

输入：数据点的集合，每个点被表示成它的preference set（PS）
输出：属于相同模型的点集的聚类

（1）把每个点看成是自己的一个聚类；

（2）把PS的一个聚类定义为其点的PS的交集；

（3）在所有的聚类中，在各自PS中，选择两个Jaccard distance最小的聚类，计算其模型参数；

（4）合并这两个模型，并重新计算得到最小Jaccard距离的两模型；

(5)重复3~4过程，知道最小Jaccard距离为1为止。

算法最终得到若干个分类，有些分类属于弱分类，就是说集合内的样本个数太少，不能算是一类，本例只要取前3个分类结果即可，这3个分类结果的样本数量也是最多的3类。

2.具体算法的实现理解

程序首先输入的是三维点云的坐标（X，Y，Z），将三维数据可视化如下图所示：

% Generate an exponential Cumulative distribution function(cdf)
% needed to generate a non-uniform sampling
[nearPtsTab] = calcNearPtsTab(CastelVecchio, 'exp', sigmaExp);% Generate Hypothesis(random sampling)
[totm, totd] = generateHypothesis(CastelVecchio, @getfn_plane, @distfn_plane, @degenfn_plane, 3, 4, 100,numberOfTrials, nearPtsTab);% Perform J-Linkage clusterization
[T, Z, Y, totdbin] = clusterPoints(totd, inliersThreshold);

因为主要考虑的J-Linkage的算法，所以直接说最后的那一行代码吧

function [T, Z, Y, totdbin] = clusterPoints(totd, inliersThreshold)#先按照设定的阈值把PS映射到只有{0， 1}的空间集合中
corM = find(totd < inliersThreshold);
totdbin = false(size(totd));
totdbin(corM) = true;#计算jaccard distance
Y = pDistJaccard(totdbin');#对每个聚类进行连接相交
Z = linkageIntersect(Y, totdbin);#最后进行聚类
T = cluster(Z,'cutoff',1-(1/(size(totdbin,1)))+eps,'criterion','distance');

最后就得到了博客一开始放的那张效果图，先说这么多啦O(∩_∩)O哈哈~

参考文献：

[1]Toldo R, Fusiello A. Robust Multiple Structures Estimation with J-Linkage[C]// European Conference on Computer Vision. Springer-Verlag, 2008:537-547.

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