matlab弹簧振子的阻尼振动,MATLAB计算方法和技巧6_2阻尼振动
MATLAB计算阻尼振动
弹簧振子的阻尼振动
[问题]一弹簧振子的质量为m，倔强系数为k。振子还受到与速度大小成正比、方向相反的阻力，比例系数为γ。当振子从静止开始运动时，初位移为A。物体的运动规律是什么？不同的阻尼下的运动曲线和速度曲线有什么特点？
[数学模型]
根据牛顿运动定律，物体运动的微分方程为
m
2
dxdt
2
2
kx
dxdt
， (6.2.1)
取k/m = ω0，γ/m = 2β，ω0就是无阻尼时物体的固有角频率，β是阻尼因子。物体的运动方程可表示为
dxdt
rt
22
2
dxdt
0x 0。 (6.2.2)
2
设微分方程的解为x = e，代入上式可得特征方程
r2 - 2βr + ω02 = 0。 (6.2.3)
特征方程的解为
r
， (6.2.4)
设
α可以是实数和零以及虚数，则r1 = -β + α，r2 = -β – α，r1和r2可以是
实数或复数。微分方程的解为
x C1e1 C2e
rt
r2t
e
t
(C1e
t
C2e
t
)， (6.2.5)
其中C1和C2是由初始条件决定的常数。物体的速度为
v
dxdt
C1r1e1 C2r2e
rt
r2t
e
t
[C1( )e
t
C2( )e
t
]。 (6.2.6)
当t = 0时，x = A，v = 0，因此可得
A = C1 + C2，0 = C1(-β + α) + C2(-β - α)， (6.2.7)
如果β ≠ ω0，即α ≠ 0，解得两个常数分别为
C1 A，C2 A。
2 2
因此物体的位移为
x
A2
e
t
[( )e
t
( )e
t
]。 (6.2.8)
[讨论]①当β > ω0时，即α > 0，上式就是过阻尼的情况。
②当β → ω0时，即α → 0，不论用罗必塔法则还是用公式eαt → 1 + αt和e-αt → 1 - αt，都可得
x A(1 0t)e
0t
。 (6.2.9)
这是临界阻尼的情况。
③当β < ω0
时，设
α = iω
，为虚数单位，利用欧拉公式
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