欧拉筛法（线性筛）的学习理解

前言

在刚接触编程语言时，对于寻找素数，第一时间想到的便是二重循环暴力查找，其复杂度O(n^2)，通过循环中只判断到根号n可以优化一些，不过复杂度也达不到预期。在数论的学习中，我学到了埃氏筛法，O(nloglogn)的算法，而在一些数据范围达到1e7这样的题目中，也很难让人满意，于是我便学习了欧拉筛法，也即 O(n)的线性筛法。

埃氏筛法

埃氏筛法的基本思想：从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。
代码：

int visit[maxn];
void Prime(){mem(visit,0);           //初始化都是素数visit[0] = visit[1] = 1;  //0 和 1不是素数for (int i = 2; i <= maxn; i++) {if (!visit[i]) {         //如果i是素数，让i的所有倍数都不是素数for (int j = i*i; j <= maxn; j += i) { visit[j] = 1;}}}

这里有一个小优化，j 从 i * i 而不是从 i + i开始，因为 i*(2~ i-1)在 2~i-1时都已经被筛去，所以从i * i开始。

埃氏筛法的缺陷：对于一个合数，有可能被筛多次。例如 30 = 2 * 15 = 3 * 10 = 5*6……那么如何确保每个合数只被筛选一次呢？我们只要用它的最小质因子来筛选即可，这便是欧拉筛法。

欧拉筛法

欧拉筛法的基本思想：在埃氏筛法的基础上，让每个合数只被它的最小质因子筛选一次，以达到不重复的目的。
代码：

int prime[maxn];
int visit[maxn];
void Prime(){mem(visit,0);mem(prime, 0);for (int i = 2;i <= maxn; i++) {cout<<" i = "<<i<<endl;if (!visit[i]) {prime[++prime[0]] = i;      //纪录素数， 这个prime[0] 相当于 cnt，用来计数}for (int j = 1; j <=prime[0] && i*prime[j] <= maxn; j++) {
//            cout<<"  j = "<<j<<" prime["<<j<<"]"<<" = "<<prime[j]<<" i*prime[j] = "<<i*prime[j]<<endl;visit[i*prime[j]] = 1;if (i % prime[j] == 0) {break;}}}
}

对于visit[i*prime[j]] = 1 的解释：这里不是用i的倍数来消去合数，而是把 prime里面纪录的素数，升序来当做要消去合数的最小素因子。
打表观察来理解：

发现i在消去合数中的作用是当做倍数的。
对于 i%prime[j] == 0 就break的解释：当 i是prime[j]的倍数时，i = kprime[j]，如果继续运算 j+1，i * prime[j+1] = prime[j] * k prime[j+1]，这里prime[j]是最小的素因子，当i = k * prime[j+1]时会重复，所以才跳出循环。
举个例子：i = 8 ，j = 1，prime[j] = 2，如果不跳出循环，prime[j+1] = 3，8 * 3 = 2 * 4 * 3 = 2 * 12，在i = 12时会计算。因为欧拉筛法的原理便是通过最小素因子来消除。

结语

对于欧拉筛法的学习是先从接触到题开始的，研究了一天才弄懂，很惭愧，再次遇到题也不见得可以游刃有余的解决，在此与大家共勉，学海无涯。
附上题目：https://nanti.jisuanke.com/t/30999 （大佬眼中的签到题）

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