常见随机变量分布总结

更新：推导已补充

离散型分布

两点分布 X∼B(1,p)X \sim B(1,p)X∼B(1,p)

随机变量X只能取值0和1，且服从参数为P的(0-1)分布，对应一次伯努利试验. (相当于随机变量取值限制的二项分布)

其分布律为：

P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1;P\{X=k\} = p^k (1-p)^{1-k}, k=0,1; \ \ \ \ \ P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1;

其数学期望为： E(X)=pE(X) = pE(X)=p

方差为： D(X)=p(1−p)D(X) = p(1-p)D(X)=p(1−p)

推导：

E(X)=0+1⋅p1(1−p)0=pE(X) = 0 + 1\cdot p^1(1-p)^0 = pE(X)=0+1⋅p1(1−p)0=p

D(X)=E(x2)−[E(x)]2==(1−p)(0−p)2+p(1−p)2=p−p2D(X) = E(x^2) - [E(x)]^2 ==(1-p)(0-p)^2+p(1-p)^2 = p - p^2D(X)=E(x2)−[E(x)]2==(1−p)(0−p)2+p(1−p)2=p−p2

二项分布 X∼B(n,p)X \sim B(n,p)X∼B(n,p)

随机变量X的所有可能取值为： 0,1,2...,n0,1,2...,n 0,1,2...,n ,而各取值的概率为：

P{X=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,2,...,nP\{X=k\} = C_n^k p^k q^{n-k}, \;\; k = 0,1,2,...,nP{X=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,2,...,n

其中， 0

其数学期望为： E(X)=npE(X) = npE(X)=np

方差为： D(X)=np(1−p)D(X) = np(1-p)D(X)=np(1−p)

推导：

KaTeX parse error: Mismatch: \begin{aligned} matched by \end{align} at position 193: …+p)^{n-1} = np \̲e̲n̲d̲{align}

E(X2)=∑k=0nk2Cnkpk(1−p)n−k=np∑k=1nkCn−1k−1pk−1(1−p)n−k=np∑k=0n−1(k+1)Cn−1kpk(1−p)n−k−1=np∑k=1n−1kCn−1kpk(1−p)n−k+np=n(n−1)p2∑k=1n−1Cn−2k−1pk−1(1−p)n−1−k=n(n−1)p2+npD(X)=E(X2)−E2(X)=np[(n−1)p+1]−n2p2=np(1−p)\begin{aligned} E(X^2) &= \sum^n_{k=0} k^2 C_n^k p^k(1-p)^{n-k} \\ &=np\sum^n_{k=1} k C_{n-1}^{k-1} p^{k-1}(1-p)^{n-k} =np\sum^{n-1}_{k=0} (k+1) C_{n-1}^{k} p^k(1-p)^{n-k-1}\\ &= np\sum^{n-1}_{k=1}kC^k_{n-1}p^k(1-p)^{n-k}+np\\ &= n(n-1)p^2\sum^{n-1}_{k=1}C^{k-1}_{n-2}p^{k-1}(1-p)^{n-1-k}=n(n-1)p^2+np \\ D(X) &= E(X^2) - E^2(X)= np[(n-1)p+1] - n^2p^2= np(1-p) \end{aligned}E(X2)D(X)=k=0∑nk2Cnkpk(1−p)n−k=npk=1∑nkCn−1k−1pk−1(1−p)n−k=npk=0∑n−1(k+1)Cn−1kpk(1−p)n−k−1=npk=1∑n−1kCn−1kpk(1−p)n−k+np=n(n−1)p2k=1∑n−1Cn−2k−1pk−1(1−p)n−1−k=n(n−1)p2+np=E(X2)−E2(X)=np[(n−1)p+1]−n2p2=np(1−p)

由于二项分布对应n重独立的伯努利试验，相当于n个两点分布的叠加，因此有：

EB(X)=E0−1(nX)=nE0−1(X)=npE_B(X) = E_{0-1}(nX) = nE_{0-1}(X)=npEB(X)=E0−1(nX)=nE0−1(X)=np

DB(X)=D0−1(nX)=np(1−p)D_B(X) = D_{0-1}(nX)=np(1-p)DB(X)=D0−1(nX)=np(1−p)

几何分布 X∼G(p)X\sim G(p)X∼G(p)

分布律为：

P{X=k}=p(1−q)k−1,k=1,2,3...,p∈(0,1]P\{X=k\} = p(1-q)^{k-1}, k=1,2,3..., p\in (0,1]P{X=k}=p(1−q)k−1,k=1,2,3...,p∈(0,1]

其数学期望与方差为：

E(X)=1p,D(X)=1−pp2E(X) = \frac1p,\ \ \ D(X) = \frac{1-p}{p^2}E(X)=p1, D(X)=p21−p

推导<1>：

E(X)=lim⁡n→∞∑k=1nkp(1−p)k−1,(1−p)E(X)=lim⁡n→∞∑k=1nkp(1−p)k⇒pE(X)=lim⁡n→∞[p∑k=1n[(k−1)(1−p)k−1−k(1−p)k]+p∑k=1n(1−p)k−1]E(X)=lim⁡n→∞[−n(1−p)n+(1−p)n−1(1−p)−1]=lim⁡n→∞1p[1−(1−p)n(1+np)]=1p\begin{aligned} &E(X)=\lim_{n\to \infty}\sum^n_{k=1}kp(1-p)^{k-1}, \ \ (1-p)E(X)=\lim_{n\to \infty}\sum^n_{k=1}kp(1-p)^{k }\\ &\Rightarrow pE(X)= \lim_{n\to \infty}[p\sum^n_{k=1}[(k-1)(1-p)^{k-1} -k(1-p)^k]+p\sum^n_{k=1}(1-p)^{k-1}] \\ &E(X)=\lim_{n\to \infty}[-n(1-p)^n+\frac{(1-p)^n-1}{(1-p)-1}]=\lim_{n\to \infty}\frac1p [1-(1-p)^n(1+np)] = \frac1p \end{aligned}E(X)=n→∞limk=1∑nkp(1−p)k−1, (1−p)E(X)=n→∞limk=1∑nkp(1−p)k⇒pE(X)=n→∞lim[pk=1∑n[(k−1)(1−p)k−1−k(1−p)k]+pk=1∑n(1−p)k−1]E(X)=n→∞lim[−n(1−p)n+(1−p)−1(1−p)n−1]=n→∞limp1[1−(1−p)n(1+np)]=p1

求期望过程的最后一步要注意一个推导：

$$p\in (0,1], \lim_{n\to \infty}(1-p)^n(1+np)\ =\lim_{n\to \infty}e^{n\ln(1-p)+\ln(1+np)}\leq \lim_{n\to \infty}e^{n\ln(1-p)+np}= \lim_{n\to \infty}e^{n[ln(1-p)+p]}=0 \$$

虽然结果显而易见，但是这里不是无穷小极限，不能用等价洛必达求极限那一套。当然，使用级数计算过程更简单<2>： E(X)=∑k=1∞kp(1−p)k−1=p(∑k=1∞−(1−p)k)′=p(−1−p1−(1−p))′=1pE(X)=\sum^\infty_{k=1}kp(1-p)^{k-1} = p(\sum^\infty_{k=1}-(1-p)^k)'=p(-\frac{1-p}{1-(1-p)})' = \frac1pE(X)=k=1∑∞kp(1−p)k−1=p(k=1∑∞−(1−p)k)′=p(−1−(1−p)1−p)′=p1

对于方差有：

E(X2)=p∑k=1∞k2(1−p)k=p(−∑k=1∞k(1−p)k)′=p((1−p)(∑k=1∞(1−p)k)′)′=p(−1−pp2)′=p2(1−p)+pp3=2−pp2D(X)=E(X2)−E2(X)=1−pp2\begin{aligned} E(X^2) &= p\sum^\infty_{k=1}k^2(1-p)^k=p(-\sum^\infty_{k=1}k(1-p)^k)' \\ &= p((1-p)(\sum^\infty_{k=1}(1-p)^k)')'\\ &= p(-\frac{1-p}{p^2})' \\ &= p\frac{2(1-p)+p}{p^3} = \frac{2-p}{p^2}\\ D(X) &= E(X^2)-E^2(X) = \frac{1-p}{p^2}\\ \end{aligned}E(X2)D(X)=pk=1∑∞k2(1−p)k=p(−k=1∑∞k(1−p)k)′=p((1−p)(k=1∑∞(1−p)k)′)′=p(−p21−p)′=pp32(1−p)+p=p22−p=E(X2)−E2(X)=p21−p

泊松分布 X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ)

其分布律为：

P{X=k}=λkk!e−λ,k=0,1,2,...P\{X=k\} = \frac{\lambda ^k}{k!} e^{-\lambda}, \; k = 0,1,2,...P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,...

数学期望为： E(X)=λE(X) = \lambdaE(X)=λ

方差为： D(X)=λD(X) = \lambdaD(X)=λ

推导：

E(X)=e−λk∑k=0∞λkk!=e−λλ∑k=1∞λk−1(k−1)!=λeλe−λ=λE(X) = e^{-\lambda}k\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \lambda\sum_{k=1}^{\infty} \frac{ \lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda e^\lambda e^{-\lambda} = \lambdaE(X)=e−λkk=0∑∞k!λk=e−λλk=1∑∞(k−1)!λk−1=λeλe−λ=λ

E(X2)=e−λ∑k=0∞k2λkk!=e−λ[∑k=1∞(k−1+1)λk(k−1)!]=e−λ[∑k=2∞λk−2+2(k−2)!+∑k=1∞λk−1+1(k−1)!]=λ2+λD(X)=E(X2)−E2(X)=λ\begin{aligned} E(X^2) &= e^{-\lambda}\sum^{\infty}_{k=0}k^2\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}[\sum^{\infty}_{k=1}\frac{(k-1+1)\lambda^k}{(k-1)!}]\\ &= e^{-\lambda}[\sum^{\infty}_{k=2}\frac{\lambda^{k-2+2}}{(k-2)!}+\sum^{\infty}_{k=1}\frac{\lambda^{k-1+1}}{(k-1)!}]\\ &=\lambda^2+\lambda \\ D(X)&= E(X^2) - E^2(X) = \lambda \end{aligned}E(X2)D(X)=e−λk=0∑∞k2k!λk=e−λ[k=1∑∞(k−1)!(k−1+1)λk]=e−λ[k=2∑∞(k−2)!λk−2+2+k=1∑∞(k−1)!λk−1+1]=λ2+λ=E(X2)−E2(X)=λ

超几何分布 H∼(n,N,M)H\sim (n, N, M)H∼(n,N,M)

经典古典概型问题的一种。其分布律为：

P{X=k}=CMkCN−Mn−kCNnP\{X=k\}= \frac{C^k_M C^{n-k}_{N-M}}{C^n_N}P{X=k}=CNnCMkCN−Mn−k ， ( max{0,n−(N−M)}≤k≤min{M,n},k∈Zmax\{0, n-(N-M)\} \leq k \leq min\{M, n\}, k\in \mathrm Zmax{0,n−(N−M)}≤k≤min{M,n},k∈Z )

在含有M个次品的N个产品中抽取n个产品检测，抽出的次品个数为k。

其期望和方差直接考的不多，这里还是给出：

E(X)=MnN,D(X)=MnN(N−n)(N−M)N(N−1)E(X) =\frac{Mn}N , \ \ \ D(X) = \frac{Mn}N \frac{(N-n)(N-M)}{N(N-1)}E(X)=NMn, D(X)=NMnN(N−1)(N−n)(N−M)

推导：（这里仅考虑M

E(X)=∑k=0nkCMkCN−Mn−kCNn=MCNn∑k=1nCM−1k−1CN−Mn−k=MnNCN−1n−1CN−1n−1=MnN\begin{aligned} E(X) &= \sum^{n}_{k=0}k \frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ &=\frac{M}{C_N^n}\sum^{n}_{k=1} C_{M-1}^{k-1}C_{N-M}^{n-k}\\ &=\frac{Mn}{NC^{n-1}_{N-1}} C^{n-1}_{N-1}=\frac{Mn}N \\ \end{aligned} E(X)=k=0∑nkCNnCMkCN−Mn−k=CNnMk=1∑nCM−1k−1CN−Mn−k=NCN−1n−1MnCN−1n−1=NMn

E(X2)=∑k=0nk2CMkCN−Mn−kCNn=MCNn[∑k=1n(k−1)CM−1k−1CN−Mn−k+∑k=1nCM−1k−1CN−Mn−k]=MnNCN−1n−1[∑k=0n−1kCM−1kCN−Mn−k−1+CN−1n−1]=n(n−1)M(M−1)N(N−1)CN−2n−2⋅CN−2n−2+MnND(X)=E(X2)−E2(X)=MN2(N−1)n(N−n)(N−M)=Mn(N−n)(N−M)N2(N−1)\begin{aligned} E(X^2)&=\sum^{n}_{k=0}k^2 \frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}\\ &=\frac{M}{C_N^n}[\sum^{n}_{k=1}(k-1) C_{M-1}^{k-1}C_{N-M}^{n-k}+\sum^{n}_{k=1}C_{M-1}^{k-1}C_{N-M}^{n-k}]\\ &=\frac{Mn}{NC_{N-1}^{n-1}}[\sum^{n-1}_{k=0} kC_{M-1}^{k}C_{N-M}^{n-k-1}+C_{N-1}^{n-1}]\\ &=\frac{n(n-1)M(M-1)}{N(N-1)C_{N-2}^{n-2}}\cdot C^{n-2}_{N-2} +\frac{Mn}N\\ D(X) &= E(X^2)-E^2(X)=\frac{M}{N^2(N-1)}n(N-n)(N-M)\\ &=\frac{Mn(N-n)(N-M)}{N^2(N-1)} \end{aligned}E(X2)D(X)=k=0∑nk2CNnCMkCN−Mn−k=CNnM[k=1∑n(k−1)CM−1k−1CN−Mn−k+k=1∑nCM−1k−1CN−Mn−k]=NCN−1n−1Mn[k=0∑n−1kCM−1kCN−Mn−k−1+CN−1n−1]=N(N−1)CN−2n−2n(n−1)M(M−1)⋅CN−2n−2+NMn=E(X2)−E2(X)=N2(N−1)Mn(N−n)(N−M)=N2(N−1)Mn(N−n)(N−M)

一维随机变量函数分布

均匀分布 X∼U(a,b)X \sim U(a,b)X∼U(a,b)

其概率密度为： f(x)={1b−a,a≤x≤b0,其他f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{b-a}, \;\; a \leq x \leq b \\ 0 , \;\; \small{其他} \end{array} \right.f(x)={b−a1,a≤x≤b0,其他

其数学期望为： E(x)=a+b2E(x) = \frac{a+b}2E(x)=2a+b

方差为： D(x)=(b−a)212D(x) = \frac{(b-a)^2}{12}D(x)=12(b−a)2

推导：

E(X)=∫abxb−adx=a+b2E(X2)=∫abxb−adx=b3−a33(b−a)=a2+ab+b23D(X)=E(X2)−E2(X)=112(b−a)2\begin{aligned} E(X)&= \int_a^b \frac x{b-a}dx=\frac{a+b}2 \\ E(X^2)&= \int^b_a \frac x{b-a}dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3} \\ D(X)&=E(X^2)-E^2(X)=\frac1{12} (b-a)^2 \\ \end{aligned}E(X)E(X2)D(X)=∫abb−axdx=2a+b=∫abb−axdx=3(b−a)b3−a3=3a2+ab+b2=E(X2)−E2(X)=121(b−a)2

指数分布 X∼E(λ)X \sim E(\lambda)X∼E(λ)

其概率密度为： f(x)={λe−λx,x>00,x≤0f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \lambda e^{-\lambda x}, \;\; x > 0 \\ 0 , \;\; x \leq 0 \end{array} \right.f(x)={λe−λx,x>00,x≤0 ，其中 λ\lambda λ 为大于零的常数。

其数学期望为： E(X)=1λE(X) = \frac{1}{\lambda}E(X)=λ1

方差为： D(X)=1λ2D(X) = \frac{1}{\lambda ^2}D(X)=λ21

推导：

E(X)=∫0∞xλe−λxdx=−∫0∞xde−λx=−xe−λx∣0∞+∫0∞e−λxdx=1λ−lim⁡x→∞(xe−λx+1λe−λx)=1λE(X2)=∫0∞x2λe−λxdx=−∫0∞x2de−λx=−x2e−λx∣0∞+2∫0∞xe−λxdx=−lim⁡x→∞(x2e−λx)+2λE(X)=2λ2D(X)=E(X2)−E2(X)=1λ2\begin{aligned} E(X)&=\int^\infty_{0}x\lambda e^{-\lambda x}dx = -\int^{\infty}_0 x de^{-\lambda x} \\ &= -xe^{-\lambda x}|^{\infty}_0+ \int^{\infty}_0 e^{-\lambda x}dx \\ & = \frac1\lambda - \lim_{x\to \infty}(xe^{-\lambda x}+\frac1\lambda e^{-\lambda x})\\ &=\frac1\lambda \\ E(X^2)& = \int^\infty_{0}x^2\lambda e^{-\lambda x}dx = -\int^{\infty}_0 x^2 de^{-\lambda x} \\ &=-x^2e^{-\lambda x}|^{\infty}_0 +2\int^{\infty}_0 xe^{-\lambda x}dx\\ &=-\lim_{x\to \infty}(x^2e^{-\lambda x})+\frac2\lambda E(X) \\ &= \frac2{\lambda^2}\\ D(X)&=E(X^2)-E^2(X) = \frac1{\lambda^2} \end{aligned}E(X)E(X2)D(X)=∫0∞xλe−λxdx=−∫0∞xde−λx=−xe−λx∣0∞+∫0∞e−λxdx=λ1−x→∞lim(xe−λx+λ1e−λx)=λ1=∫0∞x2λe−λxdx=−∫0∞x2de−λx=−x2e−λx∣0∞+2∫0∞xe−λxdx=−x→∞lim(x2e−λx)+λ2E(X)=λ22=E(X2)−E2(X)=λ21

其中： lim⁡x→∞(x+1λeλx)=L′Hospitallim⁡x→∞(1λeλx)=0\lim_{x\to \infty}(\frac{x+\frac1\lambda}{e^{\lambda x}})\xlongequal{ L'Hospital} \lim_{x\to \infty}(\frac{1}{\lambda e^{\lambda x}}) = 0x→∞lim(eλxx+λ1)L′Hospitalx→∞lim(λeλx1)=0

当然套用伽马函数可以口算：

E(X)=1λ∫0∞(λx)e−λxdλx=1λΓ(2)=1λE(X2)=1λ2∫0∞(λx)2λe−λxd(λx)=1λ2Γ(3)=2λ2Γ(2)=2λ2\begin{aligned}E(X)&=\frac1\lambda \int^\infty_{0}(\lambda x) e^{-\lambda x}\mathrm{d}\lambda x=\frac1\lambda\Gamma(2)=\frac1{\lambda}\\ E(X^2&)= \frac1{\lambda^2}\int^\infty_{0}(\lambda x)^2\lambda e^{-\lambda x}\mathrm d (\lambda x) = \frac1{\lambda^2}\Gamma(3) = \frac2{\lambda^2}\Gamma(2)=\frac2{\lambda^2} \end{aligned}E(X)E(X2=λ1∫0∞(λx)e−λxdλx=λ1Γ(2)=λ1)=λ21∫0∞(λx)2λe−λxd(λx)=λ21Γ(3)=λ22Γ(2)=λ22

正态分布 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu , \sigma ^2)X∼N(μ,σ2)

其概率密度为： f(x)=12πσ⋅e−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \cdot e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}, - \infty < x < + \inftyf(x)=2πσ1⋅e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<+∞

转换一般正态分布为标准正态分布：令 Y=X−μσY = \frac{X - \mu}{\sigma}Y=σX−μ , 则 Y∼N(0,1)Y \sim N(0,1)Y∼N(0,1)

其数学期望为： E(x)=μE(x) = \muE(x)=μ

方差为： D(X)=σ2D(X) = \sigma ^2D(X)=σ2

推导：

E(X)=∫−∞∞x12πσ⋅e−(x−μ)22σ2dx=t=x−μ2σ2σπ∫−∞∞(t+μ2σ)e−t2dt=0+2μπ∫0∞e−t2dt=μD(X)=∫−∞∞(x−u)22πσ⋅e−(x−μ)22σ2dx=t=x−μ2σ(2σ)2π2∫0∞t2⋅e−t2dt=2σ2πΓ(32)=σ2\begin{aligned} E(X) &= \int^{\infty}_{-\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \cdot e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} dx\\ &\xlongequal{t=\frac{x-\mu}{\sqrt2 \sigma}} \frac{\sqrt{2}\sigma}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} (t+\frac \mu{\sqrt2 \sigma}) e^{- t^2}dt \\ &=0+\frac {2\mu}{\sqrt \pi}\int_{0}^{\infty}e^{-t^2}dt \\ &= \mu \\ D(X)&=\int^{\infty}_{-\infty} \frac{(x-u)^2}{\sqrt{2\pi} \sigma} \cdot e^{- \frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}dx\\ &\xlongequal{t=\frac{x-\mu}{\sqrt2 \sigma}} \frac{(\sqrt2 \sigma)^2}{\sqrt{\pi}} 2\int^{\infty}_{0} t^2\cdot e^{-t^2}dt\\ &=\frac{2 \sigma^2}{\sqrt{\pi}} \Gamma(\frac32)=\sigma^2 \end{aligned}E(X)D(X)=∫−∞∞x2πσ1⋅e−2σ2(x−μ)2dxt=2σx−μπ2σ∫−∞∞(t+2σμ)e−t2dt=0+π2μ∫0∞e−t2dt=μ=∫−∞∞2πσ(x−u)2⋅e−2σ2(x−μ)2dxt=2σx−μπ(2σ)22∫0∞t2⋅e−t2dt=π2σ2Γ(23)=σ2

同样的，我们借助到了伽马函数： Γ(s)=2∫0∞e−x2x2s−1dx\Gamma(s)= 2\int^{\infty}_0 e^{-x^2}x^{2s-1}dxΓ(s)=2∫0∞e−x2x2s−1dx 。

柯西分布

其概率密度为： f(x)=1π(1+x2),−∞f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)}, \; -\inftyf(x)=π(1+x2)1,−∞

数学期望： E(x) = ∫−∞+∞∣x∣f(x)dx\int_{-\infty}^{+\infty} |x| f(x) \;dx∫−∞+∞∣x∣f(x)dx ，因为 lim⁡x→∞x∣x∣π(1+x2)=1π≠0\lim_{x\to \infty} \frac{x|x|}{\pi(1+x^2)} = \frac1{\pi} \neq0x→∞limπ(1+x2)x∣x∣=π1=0 发散而不存在。

不是所有分布都有数学期望，有数学期望的前提条件是期望对应的无穷积分或者级数收敛。

二维随机变量分布

二维均匀分布

其概率密度为： f(x,y)={1SD,(x,y)ϵD0,其他f(x,y) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{S_D}, \;\; (x,y) \epsilon D \\ 0 , \;\; \small{其他} \end{array} \right.f(x,y)={SD1,(x,y)ϵD0,其他，其中 SD=∬DdxdyS_D = \iint_D dxdySD=∬Ddxdy 为区域D上的面积。

二维正态分布 (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

其中 μ1,μ2,σ12,σ22,ρ\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rhoμ1,μ2,σ12,σ22,ρ 为参数，且 μ1,μ2>0,−1<ρ<1\mu_1, \mu_2 > 0, -1< \rho <1μ1,μ2>0,−1<ρ<1

其概率密度为 : f(x,y)=12πσ1σ2⋅1−ρ2⋅e−12(1−ρ2)⋅[(x−μ1)2σ12−2ρ(x−μ1)(y−μ2)σ1σ2+(y−u2)2σ22],−∞<x,y<+∞f(x, y) = \frac{1}{2\pi \sigma_1 \sigma_2 \cdot\sqrt{1-\rho ^2} } \cdot e^{- \frac{1}{2(1-\rho ^2)} \cdot [\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1 ^2} - 2\rho \frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1 \sigma_2}+\frac{(y-u_2)^2}{\sigma_2^2} ]}, - \infty < x, y < + \inftyf(x,y)=2πσ1σ2⋅1−ρ21⋅e−2(1−ρ2)1⋅[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)+σ22(y−u2)2],−∞<x,y<+∞

这个丧心病狂的函数表达式不用记，只是本人强迫症搬了上来而已。。。

对于 (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)(X,Y) \sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)(X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ) 有：

E(X)=μ1,D(x)=σ12E(X) = \mu_1, \ \ D(x) = \sigma_1^2E(X)=μ1, D(x)=σ12 。

E(Y)=μ2,D(Y)=σ22E(Y) = \mu_2, \ \ \ D(Y) = \sigma_2^2E(Y)=μ2, D(Y)=σ22

Cov(X,Y)=σ1σ2ρCov(X, Y) = \sigma_1 \sigma_2 \rhoCov(X,Y)=σ1σ2ρ ρxy=ρ\rho_{xy} = \rhoρxy=ρ

推导：

我不想推……

数学期望

定义：

离散型： E(X)=∑k=inXkP{X=k}E(X) = \sum^{n}_{k=i} X_kP\{X=k\}E(X)=k=i∑nXkP{X=k}

连续型： E(X)=∫−∞∞xf(x)dxE(X) = \int^{\infty}_{-\infty} xf(x)dxE(X)=∫−∞∞xf(x)dx

性质:

若a，b为常数，则 E(aX+b)=aE(x)+bE(aX+b) = aE(x) +bE(aX+b)=aE(x)+b

若 X与Y这两个随机变量相互独立，则 E(XY)=E(X)⋅E(Y)E(XY) = E(X) \cdot E(Y)E(XY)=E(X)⋅E(Y)

而注意：无论X与Y互相独立与否，都有 E(X+Y)=E(X)＋E(Y)E(X+Y) = E(X)＋E(Y)E(X+Y)=E(X)＋E(Y)

方差

离散型： D(X)=∑k=in(Xk−E(X))2⋅P{X=k}D(X) = \sum^{n}_{k=i} (X_k-E(X))^2\cdot P\{X=k\}D(X)=k=i∑n(Xk−E(X))2⋅P{X=k}

连续型： E(X)=∫−∞∞(x−E(X))2⋅f(x)dxE(X) = \int^{\infty}_{-\infty} (x-E(X))^2\cdot f(x)dxE(X)=∫−∞∞(x−E(X))2⋅f(x)dx

性质：

D(C)=0D(C) = 0D(C)=0 , 其中C为常数

D(aX+b)=a2D(X)D(aX+b) = a^2D(X)D(aX+b)=a2D(X) , 其中 a,b 为常数

D(−X)=D(X)D(-X) = D(X)D(−X)=D(X) 方差表示偏离程度，随机变量值都取反与否其值仍然不变

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}D(X \color{#e00}{\pm} Y) = D(X) \color{#e00}{+} D(Y) \pm 2E\{{[X-E(X)][Y-E(Y)}]\}D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}

如果上式中， X,YX, YX,Y 两个随机变量相互独立，则公式后面他们交叉的函数期望部分（协方差 Cov(X,Y)Cov(X,Y)Cov(X,Y)）值为0，

即: D(X±Y)=D(X)+D(Y)D(X \color{#e00}{\pm} Y) = D(X) \color{#e00}{+} D(Y)D(X±Y)=D(X)+D(Y)

使用时切记注意方差和的特殊性。

此外，虽然常用的计算式是 D(X)=E(X2)−E2(X)D(X) = E(X^2) - E^2(X)D(X)=E(X2)−E2(X) , 但是但凡用点心也可以注意到 D(X)≥0D(X) \geq 0D(X)≥0 是恒成立的。（不管是看原定义式还是联系物理意义）

如果你算出 $D(X) $ 小于零了，这时候就要回去好好检查一下了！