支配集(dominating set)问题是NP完全问题的一个证明

支配集问题

算法概论习题8.20
　　在一个无向图G=(V, E)中，我们称V的一个子集D为一个占优集，是指每个（v属于V）都属于D或与D中一个节点为邻。在占优集问题中，输入为一个图和预算b，目标是求图的一个规模不超过b的占优集——如果该集存在。证明该问题是NP-完全的。
　　注: 占优集即为支配集，是dominating set的另一种译法.
　　

证明
　　我们不妨只考虑连通图，对于非连通图，可对每个连通块分别进行处理。

　　我们使用归约进行证明
　　点覆盖问题–>支配集问题
　　点覆盖问题: 在一个无向图G=(V, E)中，我们称V的一个子集D为一个点覆盖，是指每条边（e属于E）其中的一个端点都属于D。在点覆盖问题中，输入为一个图和预算b，目标是求图的一个规模不超过b的点覆盖。
　　　
　　对于一个点覆盖问题，给定G和b，我们可以构造一个无向图H，H是原本的图G加上，G上每条边(u,v)，构造一个点x并连接(x,u)和(x,v). 我们可以将求点覆盖(G, b)转化为求支配集(H, b)。
　　
　　推论1：每一个G中的最小点覆盖S对应一个H中的最小支配集。
　　因为S与所有E中的边相邻，所以S包含所有的G中的节点或与之相邻。对于新增的节点x，其派生自边(u,v)，所以x也与S中的点相邻。所以S构成一个H的支配集。
　　
　　推论2：每一个H中的最小支配集S对应一个G中的最小点覆盖。
　　对于每个H中新增的点x，若x属于S，则与x相邻的两点u, v必然不同时属于S，否则S不是最小的。因此，可以将x替换为u,v中不属于S的点，得到S’，显然S’仍是一个最小支配集。因此我们只考虑所有点都属于G的S。
　　对这样的一个S，所有H中新增的x与S中的点相邻。所以所有的边(u,v)与S中的点相邻，即G中所有的边与S中的点相邻。所以S是G中的一个最小点覆盖。
　　
　　因此，如果需要求点覆盖(G, b)，则构造H，求支配集(H, b)，其结果S中的点按照推论2中的方法全部转换成G中的点，得到S’，则S’即为所求。若支配集(H, b)无解，则点覆盖(G, b)无解。
　　因此，若支配集问题不是NP-完全问题，则点覆盖问题不是NP-完全问题。已知点覆盖问题是NP-完全的，所以支配集问题也是NP-完全的。

支配集(dominating set)问题是NP完全问题的一个证明相关推荐

通过3SAT证明支配集是NPC问题
往期文章: NPC简介 NP-hard问题证明 NPC 证明(一) NPC 证明(二) 本文介绍如何通过3SAT归约,进而证明支配集是NPC问题. 3SAT问题 → \rightarrow → 3-S ...
【算法】NP完全问题以及世界数学七大难题
NP完全问题(NP-C问题),是世界七大数学难题之一. 1.NP完全问题 P (确定性多项式算法)对NP (非确定性多项式算法) 人们发现,所有的完全多项式非确定性问题,都可以转换为一类叫做满足性问题 ...
最小支配集，最小点覆盖，最大独立集（贪心/DP）
最小支配集(minimal dominating set):对于图G=(V,E)来说,设V'是图G的一个支配集,则对于图中的任意一个顶点u,要么属于集合V',要么与V'中的顶点相连. 在V'中除去任何 ...
独立集，覆盖集，支配集，最大团，最大匹配
独立集: 独立集是指图的顶点集的一个子集,该子集的导出子图不含边.如果一个独立集不是任何一个独立集的子集, 那么称这个独立集是一个极大独立集.一个图中包含顶点数目最多的独立集称为最大独立集.最大独立集 ...
NP完全问题的归约-碰撞集(HITTING SET)
原题: 在碰撞集(HITTING SET)问题中,给定一组集合{S1, S2, S3, -, Sn}和预算b,我们希望求一个与所有Si相交且规模不超过b的集合H(H与所有Si相交不为空). 证明: ( ...
证明碰撞集（HITTING SET）问题是NP完全问题
问题描述: 给定一组集合{S1,S2,S3,-,Sn}和预算b,求一个集合H,其中H和所有Si相交且H的规模不超过b.求证该问题是NP完全问题证明: (1)先证该问题是一个NP问题. 假设给出集合H ...
证明：hitting set是NP完全问题
<算法概论>P266 8.9 首先证明hitting set(我暂且翻译为击中集)是一个NP问题.给定该问题的一个实例,包括一组集合{S1,S2,...,Sn},大小限制b,再给定问题的一 ...
【计算理论】计算复杂性 ( NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ | 布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路 ) ★
文章目录一.NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ 二.布尔可满足性问题是 NP 完全问题证明思路一.NP 完全问题 - 布尔可满足性问题 ★ 布尔可满足性问题 ( Boolean Satisf ...
贪心法求树的最小支配集,最小点覆盖,最大独立集
原文地址(转自 Ashly的博客) 定义: 最小支配集:对于图G = (V, E) 来说,最小支配集指的是从 V 中取尽量少的点组成一个集合, 使得 V 中剩余的点都与取出来的点有边相连.也就是说,设 ...
算法4类问题：P问题、NP问题、NP完全问题、NP难问题
在讲P类问题之前先介绍两个个概念:多项式,时间复杂度. 1.多项式:axn-bxn-1+c 称为x最高次为n的多项式 2.时间复杂度时间复杂度表示所需的计算工作量,当输入值接近无穷时,算法所需工作量 ...

支配集(dominating set)问题是NP完全问题的一个证明

支配集问题

支配集(dominating set)问题是NP完全问题的一个证明相关推荐

最新文章

热门文章