剑指offer43(leetcode 233)，1-n整数中1出现的次数

这里主要记录一下时间复杂度为 O(数的位数) 的方法，原作者大神的解答在：https://leetcode-cn.com/problems/1nzheng-shu-zhong-1chu-xian-de-ci-shu-lcof/solution/mian-shi-ti-43-1n-zheng-shu-zhong-1-chu-xian-de-2/

对于一个整数，它的位数是多少位呢？不妨举几个例子：

如果是99，很显然，它是两位
100，是三位

可以用log10(m)，即以10为底，m为给出的数来表示一个数能有多少位，如果m=99，那么这个式子约等于2，即两位；如果m=999，那这个式子差不多是3；如果m在(99, 999)范围内，那这个式子约等于2，也就是说我们可以用这个式子来大约的估计给出的数能有多少位。

得到了数m的位数，下面的算法就能做到在O(log(10)m)的时间内完成计算。

开始分析

对于一个数的每一位，把它分成三种情况：

为0
为1
为2-9

用cur表示走到了当前位数，high表示高位，low表示低位，具体说明见下图：

现在分类讨论， 先看当前位数值是0的情况 ，我们以2304为例，假设当前位数是倒数第二位：

此时cur位置为1的数有多少个呢？固定cur位置为1，然后观察其他几位数的范围：

cur位置固定为1，那么想要统计数字中1出现的次数，最小值肯定是0010，因为0009就没有1了，最大值就是2219，因为十位(cur)固定为1，百位千位不能超过23，如果百位千位是23那就是2319了，比给出的数2304大，不符合题意。

这种情况下有多少个数字带1呢？其实就是看0010-2219，固定十位为1，其他位在这个范围内有多少种组合，不妨先用穷举法分析一下：

固定千位为0(十位为始终1)，那么从0010开始，一共有100个数里面带1：0010、0011、0012、…、0110、0111、0112、…、0910、0911、0912、…、0919，共100种。其实就是把千位0和十位1扣去，看剩下的百位和个位有多少种组合，很显然从00-99有100种组合；
固定千位为1(十位为始终1)，那么从1010开始，还是有100个数里面带1，原理和上面一样，把千位1和十位1扣去，还是百位和个位00-99的组合；
固定千位为2(十位为始终1)，那么从2010开始，一直到2219结束，一共有30个数里面带1，原理同上。
综上，当cur到十位时，一共有 100+100+30 = 230 个数里面带1
其实一个更简便的思路是，0010-2219，现在不是固定十位为1吗？那我就把十位扣去，剩下000-229，直接得出有230个数里面带1。

因此得出规律，如果cur当前位数的值为0，那么一共有 高位*cur所在位数(上例为10位) 的数带1，对上例来说，高位是23，cur所在位数是10位，那么一共有23*10=230个数里面带1。

再看当前位数值为1的情况 ，以2314为例，假设cur为倒数第二位，那么0010-2314范围内有多少个数带1呢？其实就是把十位扣出，剩下000-234，也就是有235个数会带1。

因此得出规律，如果cur当前位数的值为1，那么一共有 高位*cur所在位数(上例为10位) + 1 + 低位 的数带1，对上例来说，高位是23，cur所在位数是10位，低位是4，那么一共有23*10 + 1 + 4=235个数里面带1。

最后是当前位数值为[2-9]的情况，以2324为例，假设cur为倒数第二位，那么0010-2319范围内有多少个数带1呢？计算方法同上，把十位扣出，剩下000-239，也就是有240个数会带1。

因此得出规律，如果cur当前位数的值为[2-9]，那么一共有 （高位+1）*cur所在位数(上例为10位) 的数带1，对上例来说，高位是23，cur所在位数是10位，那么一共有(23+1)*10=240个数里面带1。

还有一个问题，如果输入12，那么答案应该是5，因为1、10、11、12都包含1，11中包含两个1。那么上述分析能解决这个问题吗？

我们用230来分析：

cur在个位时，范围是001-221，有23个数包含1
cur在十位时，范围是010-219，有30个数包含1
cur在百位时，范围是100-199，有100个数包含1

cur在个位的范围中有11这个数，而cur在十位时，也有11这个数，这意味着11出现了两次，但上述的分析包含了这种情况，个位时有23个数包含1，十位时有30个数包含1，我们将他们相加就等于将11看成出现了两次。所以即便是一个数里有多个1，上面算法也能解决。

下面就开始写代码了，解析可以看开头贴出的大神原帖：

 int digit = 1;int res = 0, high = n / 10, cur = n % 10, low = 0;while (high != 0 || cur != 0) {if (cur == 0) res += high * digit;else if (cur == 1) res += high * digit + 1 + low;else res += (high+1) * digit;low += cur * digit;cur = high % 10;high /= 10;digit *= 10;}return res;

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