2021四川资阳中考数学第10小题
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已知A、B两点的坐标分别为(3, -4)、(0, -2), 线段AB上有一个动点M (m,n),过点M作x轴的平行线交抛物线 y = a(x-1)²+2于P (x1, y1)、Q (x2, y2)两点,若无论M如何运动,x1 < m ≤ x2 恒成立,则a的取值范围为( ?)
A) -4 ≤ a < -1.5
B) -4 ≤ a ≤ -1.5
C) -1.5 ≤ a < 0
D) -1.5 < a < 0
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这道题有一个很简单的思路:首先既然是选择题,就可以从4个选项反推,比如确定了a是负数,当然从题目中得知2条线有交点也能确定a是负数,抛物线开口向下:
而抛物线的极点自然就是(1,2),且关于x=1对称,那么a的大小就决定了开口大小。然后我么要做的是简化题意,题目讲了一大堆,可以简化为:抛物线与线段无穿透时(或者抛物线开口完全包含线段时)a的取值范围。这里我们可以使用一种极限的思想,百试不厌:当a无穷小时,开口消失,y=2,抛物线变成水平直线,与线段AB无交点,自然符合条件,当a足够接近0时,开口足够大,也无交点,符合条件。因此a的范围一定是包含 “<0” 的这一边的,因此可以排除A、B选项,因为它们不包含无穷小。最后再考虑下端点是否可取:因为题目允许相交于A点,因此答案是C:-1.5 ≤ a < 0。
至于选项中出现的-4则是相交于B点时的a值,但那时候A点已然穿出开口之外了,则不满足条件。
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