文章目录

四. 多元函数微积分
- 二元函数的极限计算方法
- 二元函数的连续性
- 可偏导的定义
- 复合函数的偏导数和全微分
- 隐函数（抽象函数）的偏导数和全微分
- 二元函数的极值和条件极值
- - 求二元函数的极值⭐
  - 求条件极值⭐
- 补充：
- - 1. 切平面的法向量
  - 2. 多元函数的驻点
  - 3. 可微函数的方向导数
  - 4. 平面垂直
  - 5. 方向导数、梯度、旋度

四. 多元函数微积分

二元函数的极限计算方法

初步判断：取 y = kx，求一元函数极限。若答案为无穷或者含k，则极限不存在。若是确定的数字，则进行第二步。
最终判断：取 y = kx^2 , 求一元函数极限，若答案无穷或者含k，则极限不存在。若是确定的数字，则进行下一步。
求值：取 y = 0.

由此可以引申出，证明重极限不存在常用方法：取两种不同的路径，使得极限不相等或不存在。

二元函数的连续性

极限值 == 函数值
非分段每点连续
分段非分段点必连续

可偏导的定义

对x的偏导，就是固定y，对x的增量作差
可偏导的，和可导的不一样。
分段函数在分段点处的偏导，只能用定义求

复合函数的偏导数和全微分

对因变量使用求导公式，后面要乘偏因变量 / 偏自变量
其他自变量当成数。

方程个数 = 因变量个数
自变量 + 因变量 = 总变量
分母自变量，分子含因变量。

隐函数（抽象函数）的偏导数和全微分

考研数学中的出题需结合多种方法求解

方法一：基本公式

方法二：非单一字母，换元换成单一字母。(方法一前提)

如：z = f（x+y, v ）= f(u,v)

m = f (2x ， y) = f( u , y)

方法三：f’1 和 f’2 仍然是括号内变量的函数

对于二元函数而言
- 某点处连续与偏导毫无关系
- 对x偏导且对y偏导都存在，才可以说它偏导数存在
- 极限值 = 函数值，才连续

抽象函数求偏导对每一个因变量都求一次它的偏导乘对应自变量函数的导数

二元函数的极值和条件极值

求二元函数的极值⭐

求f(x,y)对x的偏导，y的偏导
令两个偏导 = 0 ，求驻点
求对x的二阶偏导，对y的二阶偏导，对x，y的二阶偏导
把每个驻点代入到第三步的结果，算出A，B，C。根据AC - B^2 与 0 关系，判断是否是极值点
求出极值

求条件极值⭐

求 f(x,y) 在条件g(x,y)=0下的极值
∂
拉格朗日乘数法

确保附加条件一侧为0：g(x,y) = 0
构造拉格朗日函数（这里增加一个变量λ）
F(x,y,λ)=f(x,y)+λ∗g(x,y)F(x,y,\textcolor{blue}λ) = f(x,y) + \textcolor{blue}λ * g(x,y) F(x,y,λ)=f(x,y)+λ∗g(x,y)
对每一个自变量变量求偏导，且令其值为0
{∂F∂x=∂f∂x+λ∂g∂x∂F∂y=∂f∂y+λ∂g∂y∂F∂λ=λg(x,y)\begin{cases}\frac{∂F}{∂x}= \frac{∂f}{∂x} + λ\frac{∂g}{∂x} \\ \frac{∂F}{∂y}= \frac{∂f}{∂y} + λ\frac{∂g}{∂y} \\ \frac{∂F}{∂λ}= λg(x,y) \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧∂x∂F=∂x∂f+λ∂x∂g∂y∂F=∂y∂f+λ∂y∂g∂λ∂F=λg(x,y)
结合题中条件，解得极值点，代入得值。

记忆：在原本的f(x,y)上增加一个维度，条件函数作为变量。

解题技巧：对每个变量求偏导的前几个等式求关系，再代入最后一个等数

拓展：三维情况

求函数f（x,y,z）在条件g(x,y,z)=0 h(x,y,z)=0下的极值。

构造函数如下：这时候要加两个变量。
F(x,y,z,λ,u)=f(x,y,z)+λ∗g(x,y,z)+u∗h(x,y,z)F(x,y,z,\textcolor{blue}λ,\textcolor{blue}u) = f(x,y,z) + \textcolor{blue}λ * g(x,y,z) + \textcolor{blue}u * h(x,y,z) F(x,y,z,λ,u)=f(x,y,z)+λ∗g(x,y,z)+u∗h(x,y,z)

补充：

1. 切平面的法向量

2. 多元函数的驻点

注意：多元函数的极值点一定是驻点、但驻点不一定是多元函数的极值点。

3. 可微函数的方向导数

方向导数相当于对每一个维度的变量求偏导，得到的结果组合成一个向量。内积一个方向为l的单位向量即可。
可能结合条件极值考。

4. 平面垂直

平面垂直: 相互垂直两平面的法向量点积为 0

两平面若相互垂直, 则此两平面的法向量点积为 0

5. 方向导数、梯度、旋度

这三个的缩写要记得，不然考试考出了都不知道求什么…

其中grad对应的是梯度，对应一个向量表达。求解时分别对三方向下求偏导即可：

散度和旋度实际上对应的是向量的一个数值：

旋度：求解需要靠行列式计算

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