给定四边形四条边的长度，求面积最大最小值

这是正在上高中的表弟问的一道题，觉得很有意思（但对于高一初学三角函数的学生来说可能难度太大了），这里记录下来一些想法，轻喷。

1、问题描述

已知凸四边形ABCD的四条边长分别为a,b,c,d，求四边形面积的最大值和最小值。

（1）最大值

面积表示为
S=12absin⁡B+12cdsin⁡DS=\frac{1}{2} a b \sin B+\frac{1}{2} c d \sin DS=21absinB+21cdsinD

即
2S=absin⁡B+cdsin⁡D(1)2S=a b \sin B+c d \sin D \tag{1}2S=absinB+cdsinD(1)

另一方面，由余弦定理可得
x2=a2+b2−2abcos⁡Bx^2=a^2+b^2-2ab\cos Bx2=a2+b2−2abcosB

x2=c2+d2−2cdcos⁡Dx^2=c^2+d^2-2cd\cos Dx2=c2+d2−2cdcosD

联立上面两式消去x可得
12(a2+b2−c2−d2)=abcos⁡B−cdcos⁡D(2)\frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd\cos D \tag{2}21(a2+b2−c2−d2)=abcosB−cdcosD(2)

联立(1)(2)两式，两边分别平方后相加，整理得到：
4S2=−14(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos⁡(B+D)(3)4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3}4S2=−41(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos(B+D)(3)

由于 a,b,c,da,b,c,da,b,c,d 都是定值，这里唯一的可变量是cos⁡(B+D)\cos{(B+D)}cos(B+D)，当cos⁡(B+D)=−1\cos{(B+D)}=-1cos(B+D)=−1 时，SSS 取最大值，此时 B+D=180°B+D=180\degreeB+D=180°,
4Smax2=−14(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)+2abcd(4)4S_{max}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)+2abcd \tag{4}4Smax2=−41(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)+2abcd(4)

继续化简可得
Smax=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)(5)S_{max}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} \tag{5}Smax=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d)(5)

其中p=12(a+b+c+d)p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)p=21(a+b+c+d)

对于凸四边形ABCD来说，也有A+C=180°A+C=180\degreeA+C=180°。这表明此时四边形ABCD是圆内接四边形。事实上，最大的四边形面积总是在凸四边形的情况下取到，如果有一个凹四边形的面积被认为是最大，那么将大于180度的那个内角向外翻折，得到一个凸四边形的面积一定比原来的凹四边形更大（如下图所示）。

（2）最小值

如果允许四边形ABCD是凹四边形，那么根据上面求最大值的过程（公式(3)等），比较容易的可以知道，当B+D=360°B+D=360\degreeB+D=360° 时，面积S可以取到最小值：
4S2=−14(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos⁡(B+D)(3)4S^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)} \tag{3}4S2=−41(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos(B+D)(3)

4Smin2=−14(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcd(6)4S_{min}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd \tag{6}4Smin2=−41(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcd(6)

只是这个时候很可能四边形是凹四边形，甚至出现重叠（如正方形）或者交错（如长方形）的现象，这时面积的定义就会变得模糊。因而只讨论凸四边形的面积最小值是比较可取和有意义的。

这里我们转换一下思维模式，将AC的长度作为自变量，AC的伸缩的过程中，B和D会随之变化。由下面两式
x2=a2+b2−2abcos⁡Bx^2=a^2+b^2-2ab\cos Bx2=a2+b2−2abcosB

x2=c2+d2−2cdcos⁡Dx^2=c^2+d^2-2cd\cos Dx2=c2+d2−2cdcosD

我们可以得到第一条性质：

1）随着x的增大，B和D都在增大

根据cos函数在[0,2pi]上的单调性（先减后增）可知，x很大或很小都可能导致一个较小的面积值，因此需要分情况讨论。

2）x最大的情况——求cos⁡(B+D)xmax\cos{(B+D)}_{x_{max}}cos(B+D)xmax

随着x的增大，假设 a+b<c+da+b<c+da+b<c+d，那么x会最先增大至接近 a+ba+ba+b 的数值，这时角B约等于180度，而角D则仍保持小于角B。这时的临界条件为：
min(a+b,c+d)=x(7)min{(a+b,c+d)}=x \tag{7}min(a+b,c+d)=x(7)

cos⁡D=c2+d2−x22cd>c2+d2−(a+b)22cd\cos{D}=\frac{c^2+d^2-x^2}{2cd}>\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}cosD=2cdc2+d2−x2>2cdc2+d2−(a+b)2

在这种情况的讨论下，随着x的增大，B+D总会在某一个x取值的时刻达到180度，随后继续增大，但不会超过360度，我们取B+D=180度时x的值为x0，那么在x>x0之后，cos(B+D)是随着(B+D)递增的。故有：

cos⁡(B+D)<cos⁡(π+D)=−cos⁡D<−c2+d2−(a+b)22cd\cos{(B+D)}<\cos{(\pi+D)}=-\cos{D}<-\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}cos(B+D)<cos(π+D)=−cosD<−2cdc2+d2−(a+b)2

记为：
cos⁡(B+D)xmax=−c2+d2−(a+b)22cd(8)\cos{(B+D)}_{x_{max}}=-\frac{c^2+d^2-(a+b)^2}{2cd}\tag{8}cos(B+D)xmax=−2cdc2+d2−(a+b)2(8)

如果有 a+b=c+da+b=c+da+b=c+d ，那么易得 Smin=0S_{min}=0Smin=0，表示 SSS 可以无限地接近0，这一点可以拿平行四边形作为例子，便可以很容易理解。

3）x最小的情况——求cos⁡(B+D)xmin\cos{(B+D)}_{x_{min}}cos(B+D)xmin

随着x的减小，不妨假设 ∣a−b∣<∣c−d∣|a-b|<|c-d|∣a−b∣<∣c−d∣，那么x会最先减小至接近 ∣c−d∣|c-d|∣c−d∣ 的数值，这时角D约等于0度，而角B则仍保持大于角D。同时需要保证ABCD仍为凸四边形，不妨假设 c>dc>dc>d ,则可得此时的临界条件为——D,A,B三点共线：
max(∣a−b∣,∣c−d∣)=x(9)max{(|a-b|,|c-d|)}=x \tag{9}max(∣a−b∣,∣c−d∣)=x(9)

cos⁡∠DCB=b2+c2−(a+d)22bc(10)\cos{\angle{DCB}}=\frac{b^2+c^2-(a+d)^2}{2bc}\tag{10}cos∠DCB=2bcb2+c2−(a+d)2(10)

则有
cos⁡(B+D)xmin=cos⁡(π−∠DCB)=−b2+c2−(a+d)22bc(11)\cos{(B+D)}_{x_{min}}=\cos{(\pi-\angle{DCB})}=-\frac{b^2+c^2-(a+d)^2}{2bc}\tag{11}cos(B+D)xmin=cos(π−∠DCB)=−2bcb2+c2−(a+d)2(11)

存在性留待证明，但直观来说一定存在上述D,A,B三点共线的临界情况。

4）合并

最后，比较(8)和(11)，取最大值，代入(3)式，则得到四边形ABCD面积的下界（无限接近）：
cos⁡(B+D)final=max⁡(cos⁡(B+D)xmax,cos⁡(B+D)xmin)(12)\cos{(B+D)_{final}}=\max{(\cos{(B+D)}_{x_{max}}, \cos{(B+D)}_{x_{min}})}\tag{12}cos(B+D)final=max(cos(B+D)xmax,cos(B+D)xmin)(12)

4Slower_bound2=−14(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos⁡(B+D)final(13)4S_{lower\_bound}^2=-\frac{1}{4}(a^2+b^2-c^2-d^2)^2+(a^2b^2+c^2d^2)-2abcd\cos{(B+D)_{final}} \tag{13}4Slower_bound2=−41(a2+b2−c2−d2)2+(a2b2+c2d2)−2abcdcos(B+D)final(13)