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第4章图形坐标变换与裁剪

4.1 二维图形的坐标变换

在图形显示过程中，用户需对图形进行平移、放大、

旋转等基本的几何变换操作。图形的平移、放大、旋转从

数学上看都是几何性质的“变换”，故又称为图形的几何变

换。

1．二维图形坐标变换的基本原理：

(1) 平移变换：

一个点P(x,y) 平移到P*(x*,y*) ，平移后产生的新坐标如下

：

x*=x+Dx

y*=y+Dy

(2) 变比例变换：

X*=SxX

Y*=SyY

(3) 旋转变换：

X*=Xcos α-Ysin α

Y*=Xsin α+Ycos α

2．坐标变换的矩阵表示形式：

 

 

一个点的坐标可以用矩阵形式[x y] 或表示，

 

坐标变换的矩阵表示形式为：

a b

[X* Y*]=[X Y] =[aX+cY bX+dY]

 

c d 

a b

 

其中：T= 为变换矩阵。

c d 

注意，不论变换矩阵中的元素a、b 、c、d为何值时，都

不能使图形产生平移变换，即用2行2列的变换矩阵不能实

现图形的平移变换。这就需要使用图形的另一种表示方法—

齐次坐标。

3．齐次坐标与齐次变换矩阵：

为了进行平移变换，要给二维点的位置矢量增加一个附

加坐标，使之成为三维行向量[x y l] ，即用点的齐次坐标

表示，这样便可进行运算了。

(1) 齐次坐标：

齐次坐标是将一个n维空间的点用n+1维坐标来表示。如

在直角坐标系中，二维点[x y] 的齐次坐标通常用三维坐标

[Hx Hy H]表示，一个三维点[x y z] 的齐次坐标通常用四

维坐标[Hx Hy Hz H]表示。在齐次坐标系中，最后一维坐

标H称为比例因子。

三维直角坐标与其齐次坐标的关系是：

x=Hx/H

y=Hy/H

z=Hz/H

由于H 的取值是任意的，所以任一点可用多组齐次坐标

表示。在一般使用中，总是将H设为“1”，以保持两种坐标

的一致。

(2) 齐次变换矩阵：

对于二维坐标系上的点，齐次坐标为[Hx Hy H],而齐次

坐标变换矩阵的形式是：

a b p 

T= c d q 

m n s 

4．二维复合变换：

实际上，上述介绍的几种基本变换一般不单独出现，通

常出现的都是复合变换。有的图形须经过多次基本变换才

能完成，这种由两个以上基本变换构成的变换称为复合变

换。设各次变换的变换矩阵分别为T

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