存储论及经济订货批量模型（EOQ）

存储论（管理运筹学）

库存：一个组织保存的产品，在制品货原材料等存储物，其数量随需求过程而减少，又随着补充而增加。
需求：系统的输出，是存储存在的根本原因，其形式有：间断式需求，连续均匀的需求，确定而已知的需求，随机的不确定的需求
补充：系统的输入，随着需求过程而不断减少；
 提前时间：为在某一时刻补充存储，必须提前订货，这段时间称为提前时间
 再订货点：提前时间开始时的库存水平
 拖后时间：从订货到货物进入“存储”往往需要一段时间，这段时间称为拖后时间
费用
 存储费用：即库存成本，存货被出售或被使用前与存储有关的费用，包括绑定的资金成本，仓库管理费，存储设备保养与维修费用等
 订货费用：向外采购物资的费用；主要分为固定费用（与订货次数有关与订货数量无关）和可变费用（与订货数量有关），设每次平均订购费用为C3，货物单位成本为K，订货数量为Q，则总订货费用为：C3+K*Q
 生产费用：所需货物不是订购而由本单位自行生产产生的费用
 缺货费用：指存储不能满足需求所引起的失去销售机会的损失或停工待料损失；由于缺货影响信誉的损失难以估量，通常将缺货费用作无穷大处理。

存储策略

需要解决两个问题：

多长时间补充一次货源
每次货源补充数量是多少

常见策略：

定期定量订购制（T-循环策略）：不管库存状态，每隔时间T补充一次货源，每次补充一个固定的批量Q
定点订购制：该策略需要确定安全库存量s和最高库存量S两个参数；每当存储量X>s时不补充，X<=s时补充，每次补充到最高库存量S，故每次的补充量Qi为一变量，即：
定期定点订购制：每隔时间间隔T盘点一次库存，但不一定要补充，只有当存储量X小于安全库存量s时才补充，并一次性补充到最高库存量S(S>s)
.

存储的类型

存储模型按变量特征分为确定性和随机性存储模型；按库存物品种类分为单品种和多品种存储模型；按周期分为单周期和多周期存储模型。
1.确定性和随机性存储模型
确定性存储模型：模型中数据皆为确定数据的存储模型
随机性存储模型：模型中含有随机变量或全部为随机变量的存储模型
2.单品种和多品种存储模型
单品种库：将数量大，体积大而又占用大量资金的物资单独设库管理，由于该类库占用大量资金，所以需要采用比较精细的方法计算其存储控制参数
多品种库：多品种物资存放在同一个仓库；由于其计算与单品种库计算不同，所以可采用ABC分类法进行存储管理。
3.单周期和多周期存储模型
单周期存储模型：有些物资购进后必须一次全部供应或售出，否则会造成经济损失
多周期存储模型：有些物资需要多次进货多次供应，形成进货——供应消耗——再供应消耗循环

常用指标：
 需求率：单位时间内对某物品的需求量，用D表示
 订货批量：一次订货中包含某种物品的数量，用Q表示
 订货周期：两次订货间的时间间隔，用t表示
 订货次数：单位时间内订货次数，用n表示
 订货提前期：从提前订货到收到货物的时间间隔，用L表示

基本EOQ模型

EOQ：经济订货批量模型，该模型有不允许缺货，且备货时间短的特点

模型建立的假设条件

需求是连续的，均匀的，设需求率D（单位时间的需求量）为常数，则t时间内需求量为D*t
当存储降为0时，可立即得到补充（即生产时间或拖后时间很短，可近似地看成0）
每次订货量不变，记为Q，订购费不变（每次生产量不变，装配费不变），即C3为常数
不允许缺货，缺货费用无限大，缺货费用记作C2
单位存储费不变，即C1为常数

由于不允许缺货，所以当前该模型只考虑存储费用和订货费用

假设每隔时间t补充一次存储，订货量为Q，需求速度为D，单位存储费为C1，订购费（固定费用）为C3，货物单价为K，则：订货量Q必须满足t时间的需求Dt，即Q=Dt; t时间内总的订货费为：C3+KDt；t时间内平均存储量为

t时间内平均存储费为：1/2* DtC1; t时间内平均订货费为：1/tC3+KD；因此，t时间内总的平均费用（平均存储费与平均订货费之和）为：

平均总费用为订货周期t的函数，故要使平均总费用最少，对t求导可得：

即每隔t*时间订购一次可使C(t)最小；

经济订货批量模型（EOQ）公式：

无缺货，逐渐补充库存的EOQ模型

模型假设条件：

需求是连续的，均匀的，设需求率D（单位时间的需求量）为常数，则t时间内需求量为D*t
当库存水平降为0时，安排生产且生产需要一定时间
每次订货量不变，记为Q，订购费不变（每次生产量不变，装配费不变），即C3为常数
不允许缺货，缺货费用无限大，缺货费用记作C2
单位存储费不变，即C1为常数
设供货速度为P（P>Q），Q为订货量，T为生产时间，P=Q/T，D为需求速度

模型的建立与求解
当库存水平降为0时开始生产，此时库存以生产速度P在补充，且以需求速度D在消耗，而当停止生产，库存水平将以需求D下降；因此，P-D>0，在（0，t1）时间内，库存量以P-D速度增加，在（t1,t）时间内，库存量以需求速度D减少。从上图可看出：
(P-D)t1=D(t-t1)，进而可以得到：Pt1=Dt
? (P-D)t1=D(t-t1) 逻辑上好理解，但是图形上怎么理解呢
t时间内平均存储量为：1/2*(P-D)t1; t时间内所需存储费用为：1/2(P-D)t1C1*t; t时间内所需订购费为:C3；
故t时间内平均总费用C(t)为：

订货提前期为0，允许缺货的EOQ模型

模型的假设条件：

需求是连续的，均匀的，设需求率D（单位时间的需求量）为常数，则t时间内需求量为D*t
当存储降为0时，可立即得到补充（即生产时间或拖后时间很短，可近似地看成0）
每次订货量不变，记为Q，订购费不变（每次生产量不变，装配费不变），即C3为常数
允许缺货，且可以立即补货，单位缺货费用记作C2
单位存储费不变，即C1为常数

模型的建立与求解
当库存水平降为0时不会马上补充货源，而是一段时间处于缺货状态。当缺货达到一定水平开始立即补充货源，之后以需求速度D在消耗。
设初始库存为S，B为最大缺货量，在(0, t1)时间内，库存为正值，在(t1,t)发生缺货。当新的一批货源到达，马上补足缺货，由于S只能满足t1时间的需求量，有S=Dt1；
在(t1,t)时间内处于缺货状态，则有B=D(t-t1)，可得到：在(0,t1)时间内平均存储量为：1/2S=1/2Dt1; 在(t1, t2)时间内平均缺货量为1/2D*(t-t1)；
在(0,t)时间内存储费为：（因为t-t1期间是0库存，所以是乘以t1）；
在(0,t)时间内发生的缺货费用为
在(0,t)时间内平均总费用为：
(注意：这里自变量有两个，且总费用由订购费用+存储费用+缺货费用)

有计划缺货，逐渐补充库存的EOQ模型

模型建立的假设条件

需求是连续的，均匀的，设需求率D（单位时间的需求量）为常数，则t时间内需求量为D*t
当存储降为0时，可立即得到补充（即生产时间或拖后时间很短，可近似地看成0）
每次订货量不变，记为Q，订购费不变（每次生产量不变，装配费不变），即C3为常数
允许缺货，且生产需要一定时间，单位缺货费用记作C2
单位存储费不变，即C1为常数

模型的建立和求解
当库存水平降为0时并不马上补充货源，而是一段时间处于缺货状态。当缺货达到一定水平时边生产边补足缺货，达到最大存储量时立即停止生产，然后以需求速度D在消耗。
设S为最大存储量，B为最大缺货量，(t1,t3)为生产时间，(t1,t2)除满足需求外，还须补充(0,t1)期间的缺货，（t2, t3）时间内在满足需求后的货物进入库存，库存以(P-D)的速度增加，t3时刻库存量达到最大，此时停止生产，(t3,t)时间内库存量以速率D减少。
由于(0,t1)时间内的缺货要在(t1,t2)时间内补足，故：B=Dt1=(P-D)(t2-t1),可推出：t1=(P-D)/P*t2；

注意：这里的费用的自变量是周期和最佳补货点构成

以上四个模型联系和区别

以上4个模型存储策略可以看出它们有以下特点：
1）平均存储量与最佳订货周期的乘积等于订购费与单位存储费的比值，即1/2St=C3/C1
2）模型二，模型三的存储策略是在模型一存储策略基础上乘以相应的因子
3）在相同时间段内，允许缺货的订货次数比不允许缺货时的订货次数减少了
4）这几个EOQ模型都解答了最佳的订货周期和最佳订货量