01背包（求具体方案的最小字典序）

acwing12

直接上题解，后面写有一般的对于方案没有限制的题解。若不懂如何求出最优解的具体方案，可以先看最下面的一般题解。

字典序最小的方案

状态表示： d p [ i ] [ j ] 表示第 i 个物品到第 n 个物品体积为 j 时的最优解 dp[i][j]表示第i个物品到第n个物品体积为j时的最优解 dp[i][j]表示第i个物品到第n个物品体积为j时的最优解
因此状态转移方程变为：
d p [ i ] [ j ] = { d p [ i + 1 ] [ j ] j < v [ i ] m a x ( d p [ i + 1 ] [ j ] , d p [ i + 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] ) e l s e dp[i][j] = \begin{cases} dp[i + 1][j] & {j < v[i]}\\max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]) & {else}\end{cases} dp[i][j]={dp[i+1][j]max(dp[i+1][j],dp[i+1][j−v[i]]+w[i])j<v[i]else
思路：
因为可能有多个最优解，且要求字典序最小的最优解，所以要从第一个物品开始判断，且if的判断条件只能是j >= v[i] && dp[i][j] == dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]。
若采用dp[i][j] > dp[i + 1][j]则会出错。
例如：
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
2 4 6 6 8
0 4 4 6 8
0 0 4 6 6
0 0 0 6 6
2 3（答案）

int dp[1003][1003];
int f[1003];
int w[N], v[N];int main()
{IOS;int n, m; cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];for (int i = n; i >= 1; i--)for (int j = 1; j <= m; j++){dp[i][j] = dp[i + 1][j];if (j >= v[i])dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i + 1][j - v[i]] + w[i]);}for (int j = m, i = 1; i <= n; i++){//注意数组越界if (j >= v[i] && dp[i][j] == dp[i + 1][j - v[i]] + w[i])f[i] = 1, j -= v[i];}for (int i = 1; i <= n; i++)if (f[i]) cout << i << " ";return 0;
}

以下是一般的只需要求出具体方案的题解

思路

一般的求具体方案为正序对n个物品进行状态转移。
状态转移方程：
d p [ i ] [ j ] = { d p [ i − 1 ] [ j ] j < v [ i ] m a x ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] ) e l s e dp[i][j] = \begin{cases} dp[i - 1][j] & {j < v[i]}\\max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]) & {else}\end{cases} dp[i][j]={dp[i−1][j]max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−v[i]]+w[i])j<v[i]else

代码
if的判断条件可以是 d p [ i ] [ j ] > d p [ i − 1 ] [ j ] dp[i][j] > dp[i - 1][j] dp[i][j]>dp[i−1][j]也可以是 j > = v [ i ] a n d d p [ i ] [ j ] = = d p [ i − 1 ] [ j − v [ i ] ] + w [ i ] j >= v[i] ~~and~~ dp[i][j] == dp[i - 1][j - v[i]] + w[i] j>=v[i] and dp[i][j]==dp[i−1][j−v[i]]+w[i]
两者的区别：
假如 d p [ n ] [ m ] = d p [ n − 1 ] [ m ] > d p [ n − 2 ] [ m ] dp[n][m] = dp[n - 1][m] > dp[n - 2][m] dp[n][m]=dp[n−1][m]>dp[n−2][m]。由于是倒序循环的，前者会将 n − 1 n - 1 n−1 标记为答案，而后者可能会将n标记为答案。
例如：（条件为前者时跑的样例）
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6（样例）
2 2 2 2 2
2 4 6 6 6
2 4 6 6 8
2 4 6 6 8（dp数组）
2 3（方案）
（第二个if条件跑出来的方案则是1，4）

for (int j = m, i = n; i >= 1; i--){if (dp[i][j] > dp[i - 1][j])f[i] = 1, j -= v[i];else f[i] = 0;}

注意：使用第二个if条件虽然可以过上面的样例，但是求最优方案最小的字典序仍然时不对的。

一般求具体方案

int dp[1003][1003];
int f[1003];
int w[N], v[N];int main()
{IOS;int n, m; cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= m; j++){dp[i][j] = dp[i - 1][j];if (j >= v[i])dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - v[i]] + w[i]);}for (int j = m, i = n; i >= 1; i--){if (j >= v[i] && dp[i][j] == dp[i - 1][j - v[i]] + w[i])f[i] = 1, j -= v[i];else f[i] = 0;}for (int i = 1; i <= n; i++)if (f[i]) cout << i << " ";return 0;
}