高等数学（第七版）同济大学习题9-10 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题9-10

1.某种合金的含铅量百分比(%)为p，其熔解温度(∘C)为θ，由实验测得p与θ的数据如下表:\begin{aligned}&1. \ 某种合金的含铅量百分比(\%)为p，其熔解温度(^\circ C)为\theta，由实验测得p与\theta的数据如下表:&\end{aligned}1. 某种合金的含铅量百分比(%)为p，其熔解温度(∘C)为θ，由实验测得p与θ的数据如下表:

p/%p/\%p/%	36.936.936.9	46.746.746.7	63.763.763.7	77.877.877.8	84.084.084.0	87.587.587.5
θ/∘C\theta / ^\circ Cθ/∘C	181181181	197197197	235235235	270270270	283283283	292292292

试用最小二乘法建立θ与p之间的经验公式θ=ap+b.\begin{aligned}&\ \ \ \ 试用最小二乘法建立\theta与p之间的经验公式\theta=ap+b.&\end{aligned} 试用最小二乘法建立θ与p之间的经验公式θ=ap+b.

解：

设M为偏差平方和，即M=∑i=16[θi−(api+b)]2，令{∂M∂a=−∑i=162pi[θi−(api+b)]=0，∂M∂b=−∑i=162[θi−(api+b)]=0.整理，得{a∑i=16pi2+b∑i=16pi=∑i=16θipi，a∑i=16pi+6b=∑i=16θi.，计算，得∑i=16pi2=28365.28，∑i=16pi=396.6，∑i=16θipi=101176.3，∑i=16θi=1458，代入方程组，得{28365.28a+396.6b=101176.3，396.6a+6b=1458.，解得a=2.234，b=95.33，经验公式为θ=2.234p+95.33.\begin{aligned} &\ \ 设M为偏差平方和，即M=\sum_{i=1}^6 [\theta_i-(ap_i+b)]^2，令\begin{cases}\frac{\partial M}{\partial a}=-{\displaystyle \sum_{i=1}^6} 2p_i[\theta_i-(ap_i+b)]=0，\\\\\frac{\partial M}{\partial b}=-{\displaystyle \sum_{i=1}^6} 2[\theta_i-(ap_i+b)]=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 整理，得\begin{cases}a{\displaystyle \sum_{i=1}^6} p_i^2+b{\displaystyle \sum_{i=1}^6} p_i={\displaystyle \sum_{i=1}^6} \theta_i p_i，\\\\a{\displaystyle \sum_{i=1}^6} p_i+6b={\displaystyle \sum_{i=1}^6} \theta_i.\end{cases}，\\\\ &\ \ 计算，得{\displaystyle \sum_{i=1}^6} p_i^2=28365.28，{\displaystyle \sum_{i=1}^6} p_i=396.6，{\displaystyle \sum_{i=1}^6} \theta_i p_i=101176.3，{\displaystyle \sum_{i=1}^6} \theta_i=1458，\\\\ &\ \ 代入方程组，得\begin{cases}28365.28a+396.6b=101176.3，\\\\396.6a+6b=1458.\end{cases}，解得a=2.234，b=95.33，经验公式为\theta=2.234p+95.33. & \end{aligned} 设M为偏差平方和，即M=i=1∑6[θi−(api+b)]2，令⎩⎨⎧∂a∂M=−i=1∑62pi[θi−(api+b)]=0，∂b∂M=−i=1∑62[θi−(api+b)]=0. 整理，得⎩⎨⎧ai=1∑6pi2+bi=1∑6pi=i=1∑6θipi，ai=1∑6pi+6b=i=1∑6θi.，计算，得i=1∑6pi2=28365.28，i=1∑6pi=396.6，i=1∑6θipi=101176.3，i=1∑6θi=1458，代入方程组，得⎩⎨⎧28365.28a+396.6b=101176.3，396.6a+6b=1458.，解得a=2.234，b=95.33，经验公式为θ=2.234p+95.33.

2.已知一组实验数据为(x1,y1),(x2,y2),⋅⋅⋅,(xn,yn)，现若假定经验公式是y=ax2+bx+c，试按最小二乘法建立a、b、c应满足的三元一次方程组.\begin{aligned}&2. \ 已知一组实验数据为(x_1, \ y_1), \ (x_2, \ y_2), \ \cdot\cdot\cdot, \ (x_n, \ y_n)，现若假定经验公式是y=ax^2+bx+c，试按\\\\&\ \ \ \ 最小二乘法建立a、b、c应满足的三元一次方程组.&\end{aligned}2. 已知一组实验数据为(x1, y1), (x2, y2), ⋅⋅⋅, (xn, yn)，现若假定经验公式是y=ax2+bx+c，试按最小二乘法建立a、b、c应满足的三元一次方程组.

解：

设M为偏差平方和，即M=∑i=1n[yi−(axi2+bxi+c)]2，令{∂M∂a=−2∑i=1n[yi−(axi2+bxi+c)]⋅xi2=0，∂M∂b=−2∑i=1n[yi−(axi2+bxi+c)]⋅xi=0，∂M∂c=−2∑i=1n[yi−(axi2+bxi+c)]=0.整理，得{a∑i=1nxi4+b∑i=1nxi3+c∑i=1nxi2=∑i=1nxi2yi，a∑i=1nxi3+b∑i=1nxi2+c∑i=1nxi=∑i=1nxiyi，a∑i=1nxi2+b∑i=1nxi+nc=∑i=1nyi.\begin{aligned} &\ \ 设M为偏差平方和，即M=\sum_{i=1}^n [y_i-(ax_i^2+bx_i+c)]^2，令\begin{cases}\frac{\partial M}{\partial a}=-2{\displaystyle \sum_{i=1}^n} [y_i-(ax_i^2+bx_i+c)] \cdot x_i^2=0，\\\\\frac{\partial M}{\partial b}=-2{\displaystyle \sum_{i=1}^n} [y_i-(ax_i^2+bx_i+c)] \cdot x_i=0，\\\\\frac{\partial M}{\partial c}=-2{\displaystyle \sum_{i=1}^n} [y_i-(ax_i^2+bx_i+c)]=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 整理，得\begin{cases}a{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^4+b{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^3+c{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^2={\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^2y_i，\\\\a{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^3+b{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^2+c{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i={\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i y_i，\\\\a{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i^2+b{\displaystyle \sum_{i=1}^n} x_i+nc={\displaystyle \sum_{i=1}^n} y_i.\end{cases} & \end{aligned} 设M为偏差平方和，即M=i=1∑n[yi−(axi2+bxi+c)]2，令⎩⎨⎧∂a∂M=−2i=1∑n[yi−(axi2+bxi+c)]⋅xi2=0，∂b∂M=−2i=1∑n[yi−(axi2+bxi+c)]⋅xi=0，∂c∂M=−2i=1∑n[yi−(axi2+bxi+c)]=0. 整理，得⎩⎨⎧ai=1∑nxi4+bi=1∑nxi3+ci=1∑nxi2=i=1∑nxi2yi，ai=1∑nxi3+bi=1∑nxi2+ci=1∑nxi=i=1∑nxiyi，ai=1∑nxi2+bi=1∑nxi+nc=i=1∑nyi.