题目描述：

　　相似整数三角形的周长和为N（1<=N<=5000000）,问这样的三角形组合有多少种（三角形是有序的）

样例：

　　N为9时，一共有6种。

　　(1, 1, 1) (1, 1, 1) (1, 1, 1)
　　(1, 1, 1) (2, 2, 2)
　　(2, 2, 2) (1, 1, 1)
　　(1, 4, 4)
　　(2, 3, 4)
　　(3, 3, 3)

　　要解决这题，我们先给出一个0（1）的时间复杂度求周长为N的整数三角形的个数的算法。

　　设三角形三边为a1,a2,a3,a1+a2+a3=N,并且a1<=a2<=a3。

　　a1最小，所以1<=a1<=N/3。算法的思路是将周长为N的三角形按照最小边分类，也就是

也就是要将N/3个整数加起来就是三角形个数的和了，我们算求和公式里面的某一项时，a1是定值，比如a1等于1时三角形的个数，a1等于2时三角形的个数。。。。。

　　既然a1是定值，我们可以把a1的值先给a2和a3，因为a2和a3都比a1要大，先给a2和a3分配a1的长度，还剩下N-3*a1个长度，我们可以全部给a3，也就是说满足

　　a3-a2<=N-3*a1。

　　由三角形的性质，两长边之差小于第三边，也就是a3-a2<a1,就是a3-a2<=a1-1。

　　现在a3与a2的差要满足两个限制条件了，一个是N-3a1，一个是a1-1。，一个随着递增一个递减，所以选择分段处理，分界点是a1等于N/4的时候。

　　　　当1<=a1<=N/4时，这时候满足a1-1<=N-3*a1，所以我们只需要关注a1-1。

　　　　对N分为奇数和偶数谈论

　　　　当N是奇数时

　　　　　　a1为1，a3与a2的和是偶数，差也是偶数，小于1的偶数的个数是1，所以a1等于1时，三角形个数为1

　　　　　　a1为3，a3与a2的和是偶数，差也是偶数，小于3的偶数的个数是2，所以a1等于3时，三角形个数为2

　　　　　　a1为5，a3与a2的和是偶数，差也是偶数，小于5的偶数的个数是3，所以a1等于5时，三角形个数为3

　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。

　　　　　　当a1是1,3,5,7.........时三角形的个数是1,2,3,4..................

　　　　　　a1为2，a3与a2的和是奇数，差也是奇数，小于2的奇数的个数是1，所以a1等于2时，三角形个数为1

　　　　　　a1为4，a3与a2的和是奇数，差也是奇数，小于4的奇数的个数是2，所以a1等于4时，三角形个数为2

　　　　　　a1为6，a3与a2的和是奇数，差也是奇数，小于6的奇数的个数是3，所以a1等于6时，三角形个数为3

　　　　　　。。。。。。。。。。。。。。。。。。

　　　　　　当a1是2,4,6,8.........时三角形的个数是1,2,3,4....................

　　　　两者结合起来就是1,1,2,2,3,3,4,4...............这样的数列知道个数很方便求和的

　　　　同理，当N为偶数时，三角形个数的数列是0,1,1,2,2,3,3,..........

　　　　解决完前半段，我们来解决后半段

　　　　当N/4+1<=a1<=N/3时，此时N-3*a1<=a1-1，所以我们只需要关注N-3*a1。

　　　　我们先给a2和a3分配a1的长度，还剩下N-3*a1的长度，现在要满足a2<=a3,我们可以把0,1,2,.....(N-3*a1)/2的长度分为a2，一共是(N-3*a1)/2+1种方案。

　　　　在a1从N/4+1增加到N/3的过程中，N-3*a1是公差为3的等差数列，间隔一个看，可以看作是两个公差为6的等差数列，公差为6的等差数列除以2得到的是公差为3的等差数列，所以后半段是由两个公差为3的等差数列组成，这个求和也很好求，所以得到了0（1）时间复杂度求周长为N的整数三角形的个数。代码里面GetNumber函数就是专门来求这个的。

　　现在我们来看问题，每一种方案都可以提一个基三角形出来，然后所有的三角形都是这个三角形的整数倍数。我们先求N的约数prime[],约数的个数是m

　　那么方案数

　　我们已9来举例子，9的约数是1,3,9

　　周长为1并且三边公约数为1的三角形个数是0,0*2^8=0

　　周长为3并且三边公约数为1的三角形个数是1,1*2^2=4，对应的方案是(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (1,1,1),(2,2,2)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (2,2,2),(1,1,1)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (3,3,3)

　　周长为9并且三边公约数为1的三角形个数是2,2*2^0=2，对应的方案是(1,4,4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   (2,3,4)

　　一共加起来是6种，这里要求基三角形的公约数是1的原因是防止计算重复。

　　那么现在问题来了，周长为L并且三边公约数为1的三角形该怎么算。

　　周长为L并且三边公约数为1的三角形的个数=周长为L的三角形的个数减去周长为L三边公约数不为1的个数。

　　周长为L的三角形个数我们上面已经讲了，有0（1）的时间复杂度的算法。

　　现在求周长为L三边公约数不为1的个数

　　设三角形三边为a1,a2,a3，最大公约数为c，我们将三边都除以c可以得到一个周长为L/c并且三边公约数为1的三角形。

　　周长为L并且三边最大公约数为c的三角形的个数与周长为L/c并且公约数为1的三角形的个数是相等的，因为两者可以互相转换。

　　将c分下类，c只能是L的约数且不能为1，那儿L/c就是L的约数但不包含L。

　　周长为L并且三边公约数为1的三角形的个数=周长为L的三角形的个数减去周长为L三边最大公约数为L的约数（不包含1）的三角形的个数

　　所以周长为L并且三边公约数为1的三角形的个数=周长为L的三角形的个数减去周长为L的约数（不包含L）三边公约数为1的三角形的个数。

　　那么现在问题就好办了，将N的约数从小到大排序，从小到大开始周长为prime[i]公约数不为1的三角形的个数，后面的计算会用到前面的计算的，也就是代码里面GetValue所做的事情。

　　整道题的时间复杂度不大， 只与N的约数的个数相关。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <math.h>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
#define mod 1000000007
int a[50];
long long yueshu[1000];
long long value[1000];
int nyueshu;long long GetNumber(long long N)//N可构成的三角形的个数
{if(N<3){return 0;}long long result=0;long long n=N/4;if(N%2==1){if(n%2==1){result=(1+(n-1)/2)*(n-1)/2+(n+1)/2;}else{result=(1+n/2)*n/2;}}else{if(n%2==1){result=(1+n/2)*(n/2);}else{result=(1+(n-1)/2)*((n-1)/2)+n/2;}}long long temp=N-N/4*3-3;long long k=temp/3+1;if(temp<0){return result;}long long t1;long long t2;if(temp%2==0){t1=temp/2;t2=t1-2;}else{t1=temp/2;t2=t1-1;}if(k%2==1){result=result+(t1+t1-k/2*3)*(k/2+1)/2+(t2+t2-3*(k/2-1))*(k/2)/2+k;}else{result=result+(t1+t1-3*(k/2-1))*(k/2)/2+(t2+t2-3*(k/2-1))*(k/2)/2+k;}return result;
}long long MOD(int N)
{int i;long long result=1;int n=0;while(N>0){n++;a[n]=N%2;N/=2;}for(i=n;i>=1;i--){result=(result*result)%mod;if(a[i]==1){result=(result*2)%mod;}}return result;
}int cmp(const void *arg1,const void* arg2)
{long long *t1=(long long*)arg1;long long *t2=(long long*)arg2;if(*t1<*t2){return -1;}else{return 1;}
}void GetYueshu(int N)
{nyueshu=0;int n=(int)sqrt((double)N);int i;for(i=1;i<=n;i++){if(N%i==0){if(N==i*i){nyueshu++;yueshu[nyueshu]=i;}else{nyueshu++;yueshu[nyueshu]=i;nyueshu++;yueshu[nyueshu]=N/i;}}}qsort(yueshu+1,nyueshu,sizeof(yueshu[0]),cmp);
}void GetValue()
{int i;int j;for(i=1;i<=nyueshu;i++){value[i]=GetNumber(yueshu[i]);}for(i=1;i<=nyueshu;i++){for(j=1;j<i;j++){if(yueshu[i]%yueshu[j]==0){value[i]-=value[j];}}value[i]=value[i]%mod;}
}long long Calculate(int N)
{GetYueshu(N);GetValue();long long result=0;int i;for(i=1;i<=nyueshu;i++){result=(result+value[i]*MOD(N/yueshu[i]-1))%mod;}return result;
} int main()
{int N;int t=1;while(cin>>N){printf("Case %d: %lld\n",t++,Calculate(N));}return 0;
}