高等数学：第十章 曲线积分与曲面积分（2）对面积、坐标的曲面积分
§10.4 对面积的曲面积分
一、概念的引入
1、引例
我们知道，若
为
面上具有质量密度为
的一块薄片，那么该平面薄片的质量
可以由如下二重积分表示
当
是一张具有质量密度 
的空间曲面时，它也具有质量，那么它的质量应如何定义和计算呢？显然，解决这一问题的方法仍可用我们曾反复使用过的元素法。
用任意一组曲线将曲面划分成
块“小”曲面
(
既表示第
块“小”曲面，也表示它的面积)，若面密度函数
在
上连续的条件下，第块“小”曲面的质量近似地为
其中
是
上的任意一点。
于是，曲面的总质量
近似地为 
从而 
这里，
表示块“ 小 ”曲面直径中最大者。
撇开这一实际问题的具体意义，抽出它所蕴含的数学特征，便有如下对面积的曲面积分的概念。
2、对面积的曲面积分的定义
设空间曲面是光滑的，函数
在上有界，用任意一组曲线将划分成个小块
( 同时也表示第 小块曲面的面积 )，在第小块上任意取定一点，作和式
用记各小块曲面直径中的最大者， 如果当
时，上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在曲面上对面积的曲面积分，并记作
，亦即
其中：
叫做被积函数，
叫做积分曲面，
叫做曲面面积元素。
根据上述定义，面密度为连续函数
的光滑曲面的质量，可以表示成为函数
在上对面积的曲面积分
对面积的曲面积分在物理上表示具有质量分布曲面的总质量，这与二重积分所代表的物理意义是相同的，因此，它有与二重积分相类似的一些性质。
二、对面积的曲面积分的性质
1、存在定理
若曲面是光滑的，函数在曲面上连续，则
存在。
2、对曲面的可加性
设可分成两片光滑的曲面
与
( 记作 
)，而
与 
均存在，则亦存在，且有
3、
4、若在曲面上，有 
，则
三、对面积的曲面积分的计算法
设曲面由方程
给出，它在
面上的投影区域为
，函数
在
上具有一阶连续偏导数，而被积函数
在
上连续。
依对面积的曲面积分定义有
如图，第块小曲面( 它的面积也记作) 在面上投影区域为
( 它的面积也记作)，则可表示成
点属于曲面，故 
于是，积分和式可表示成
由于函数
以及函数
在闭区域
上连续，当时，上式右端的极限与
的极限是相等的，都等于二重积分
因此
这就是对面积的曲面积分化二重积分的计算公式。
注一、公式的记忆方法
注二、被积函数定义在上，它的自变量取值应满足方程。
注三、用类似的方法，可导出对面积的曲面积分另外两个计算公式。
【例1】求
，为锥面
介在
之间的部分。
【解法一】取的方程为
它在面上的投影区域为 
【解法二】取的方程为
那么在
面上的投影区域为
曲面关于面分前后对称的两片，只考虑前面的一片
，然后使用对称性即可。
由此例的两种解法，可总结出对面积的曲面积分计算的两大要点：
1、给出曲面合适的方程形式
(
或 
)
2、找出曲面在相应的坐标面 (或 
) 上的投影区域
( 
或 
)。
如果曲面方程的选择不适宜，会给投影区域的确定与二重积分的计算造成一定的困难。
【例2】求均匀曲面
的重心坐标。
解：设面密度为
，重心坐标为 
，依重心的定义有
其中，
是曲面的总质量，
， 
， 
为曲面对坐标面
，
，
的力矩。
曲面在面的投影区域为 
，
曲面的面积元素为
故 
，
由曲面的对称性，有
， 
从而 
，重心坐标为
。
§10.5 对坐标的曲面积分
一、曲面的侧、曲面在坐标面上的投影区域
假定我们所讨论的曲面是光滑的，一般来讲，我们所遇到的曲面都是双侧的，曲面侧可以通过曲面上法向量的指向来定义，这种取定了法向量也就选定了侧的曲面，我们称之为有向曲面。
是有向曲面，在上取一小块曲面
，设
是的法向量与
轴正向的夹角
的余弦，
是在
面投影区域的面积值。我们规定：在面上的投影
为
其中
也就是
的情形。
简言之：在面上的投影，实际就是在面上的投影区域的面积附以一定的正负号，即：
。
类似地可以定义在
面及
面上的投影
及
。
二、流向曲面一侧的流量
设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度场由
给出，是速度场中的一片有向曲面，函数
均在上连续，求单位时间内流向指定侧的流体的质量，即流量
。
先讨论一个特殊情况：如果流体流过平面上面积为
的一个闭区域，且流体在该闭区域上各点的流速为（常向量）
，设
为该平面的单位法向量。
显然，在单位时间内流过该闭区域的流体组成一个底面积为,斜高为
的斜柱体。
1、当
时，这斜柱体的体积为 
，这就是通过闭区域流向所指一侧的流量；
2、当
时，显然流体通过闭区域流向所指一侧的流量为零，而
；
3、当
时
，它表示流体通过闭区域实际上流向
所指一侧，且流向所指一侧的流量为
。因此，不论
为何值，流体通过闭区域流向所指向一侧的流量均为
。
再讨论一般情况：流体流过的是一片曲面，且流速是变化的，此时的流量计算不能直接用上述方法，必须使用元素法来处理。
把曲面分成
小块
(同时也代表第
小块曲面的面积)。在是光滑的和是连续的前提下，只要的直径很小，我们就可以用上任一点
处的流速
代替上其它各点处的流速，以该点
处曲面的单位法向量
代替上其它各点处的单位法向量，从而得到通过流向指定侧的流量的近似值为
于是，通过流向指定侧的流量
但 
，
，
因此上式又可写成
令
取上述和式的极限，就得到流量的精确值。
这样的极限还会在其它问题中遇到，抽去它们的具体意义，可给出对坐标的曲面积分概念。
三、对坐标的曲面积分定义及性质
【定义】设为光滑的有向曲面，函数
在上有界。把任意分成块小曲面(同时又表示第块小曲面的面积)，在面上的投影为
，
是上任意取定的一点，如果当各小块曲面的直径的最大值
时，极限
总存在，则称此极限为函数在有向曲面
上对坐标
的曲面积分，并记作 
。
即 
其中叫做被积函数，叫做积分曲面。
类似地可以定义
函数
在有向曲面上对坐标
的曲面积分
，即
函数
在有向曲面上对坐标
的曲面积分
，即
以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。
我们指出，当，，在有向光滑曲面上连续时，对坐标的曲面积分是存在的，以后总假定在上连续。
在应用上出现较多的是形式
为简便起见，我们把它写成
例如，上述流向指定侧的流量可表示成为
如果是分片光滑的有向曲面，我们规定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片光滑曲面上对坐标的曲面积分之和。
对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分有着相类似的一些性质。
1、如果把分成
和
，则
(1)
公式(1)可以推广到被分成了
几部分的情形。
2、设是有向曲面，
表示与取相反侧的有向曲面，则
(2)
(2)式表明：当积分曲面改变为相反侧时，对坐标的曲面积分要改变符号，因此关于对坐标的曲面积分我们必须注意积分曲面所取的侧。
这些性质的证明从略。
四、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面是由方程
所给出的曲面的上侧，在面上的投影区域为
，假设函数在上具有一阶连续偏导数，在上连续。
按对坐标的曲面积分的定义，有
因为取上侧，
，所以
又因
是上的一点，故
，从而有
令取上式两端的极限，就得到
(3)
这就将对坐标的曲面积分化为了二重积分。
公式(3)表明：计算对坐标的曲面积分
时，只要把其中变量换成方程，然后在的投影区域上计算二重积分就成了。
必须注意：公式(3)的曲面积分是取在曲面上侧的；如果曲面积分取在曲面下侧，这时
，那末
从而有
(3’)
类似地，如果由
给出，则有
(4)
等式右端的符号这样决定：若积分曲面是由方程所给出的曲面前侧，即
，应取正号；反之，如果取后侧，即
，应取负号。
如果由
给出，则有
(5)
等式右端的符号这样决定：若积分曲面是方程所给出的曲面右侧，即
，应取正号；反之，如果取左侧，即
，应取负号。
【例1】计算曲面积分
其中是球面
外侧在
的部分。
解：把分为和两部分，则
上式右端的第一个积分的积分曲面取下侧，第二个积分的积分曲面取上侧，因此分别应用公式(3’)及(3)，就有
其中
，利用极坐标计算这个二重积分如下：
从而 
五、两类曲面积分之间的联系
设是由方程给出的曲面上侧，由对坐标曲面积分计算公式有
另一方面，的法向量的方向余弦为
，
，
由对面积的曲面积分计算公式有
由此可见，有
(6)
如果取下侧，则有
此时，的法向量的方向余弦应取为
，
，
因此(6)式仍成立。
类似地，我们可导出关系式
(7)
(8)
合并(6)，(7)，(8)三式，得两类曲面积分之间的如下联系：
(9)
其中
是有向曲面在点
处的法向量的方向余弦。
若引入记号：
，
，
由(9)式有
两类曲面积分的关系式可简单地表示为
我们称 
为有向曲面元。
【例2】计算曲面积分
其中是旋转抛物面
介于平面
及
之间部分的下侧。
解法一：
由两类曲面积分之间的关系式，有
利用二重积分的性质，
，于是
解法二：由两类曲面积分的关系式，有
在曲面上，有
，
故 
再按对坐标曲面积分的计算法，有
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