计算机辅助几何设计(CAGD)的简单介绍

计算机辅助几何设计

(Computer Aided Geometric Design，简称CAGD)

1.计算机辅助几何设计中Bezier相关

计算机辅助几何设计是随着航空、造船、机械设计和制造等现代工业的蓬勃发展与计算机的出现而发生与发展起来的一门新兴的交叉学科，曲线曲面的表示和逼近是计算机辅助几何设计的重要研究内容。Bezier曲线曲面是CAD／CAM系统中广泛使用的造型工具，任意形状曲线曲面的Bezier表示与逼近在CAGD中有着重要的应用价值。

2.计算机辅助几何设计的简单介绍

随着计算机技术特别是微型机及其绘图技术的发展，计算机辅助设计与制造(Computer Aided Design and Computer Aided Manufacture,简称CAD／CAM)技术已在机械、电子、航空航天、建筑等领域得到广泛应用。CAD／CAM技术的发展和应用水平已经逐渐成为衡量一个国家现代化水平的重要标志之一。
CAD／CAM技术是工程技术人员以计算机为工具，对产品和工程进行设计、绘图、造型、分析和编写技术文档等设计活动的总称。作为信息技术的一个重要组成部分。CAD／CAM技术将计算机的高速、海量数据存储、处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力结合起来，对加速工程和产品的开发、缩短设计制造周期、提高质量、降低成本、增强企业市场竞争能力与创新能力发挥着重要作用。无论是军事工业还是民用工业，无论是建筑行业还是加工制造业，无论是机械、电子、轻纺产品，还是文体、影视广告制作都离不开CAD／CAM技术。CAD／CAM技术是企业信息化的重要技术基础，也是企业进入国际市场的入场券。随着Internet／Intranet网络和并行、高性能计算及事务处理的普及，异地、协同、虚拟设计及实时仿真也在CAD／CAM中得到了广泛应用，使CAD／CAM系统从最初的只能应用于制图发展到现在的CAD／CAM系统的可视化、集成化、智能化、网络化。

随着航空、汽车等现代工业的发展与计算机的出现，计算机辅助几何设计(Computer AidedGeometric Design，简称CAGD)作为一门独立的新兴学科迅速发展起来，并成为CAD／CAM技术的理论基础和关键技术。它的出现和发展既是现代工业发展的要求，又对现代工业的发展起到巨大的促进作用。计算机辅助几何设计最初起源于飞机、船舶的数学放样和外形设计，作为样条函数及函数逼近论等在飞机及船舶制造中的实际应用而产生，其应用范围除了航空、造船、汽车这三大制造业外，还涉及到CAD／CAM、建筑设计、生物工程、医疗诊断、航天材料、电子工程、机器人、服装鞋帽模型设计等技术领域。随着计算机图形学的发展，还广泛应用于计算机视觉、地形地貌、军事作战模拟、动画制作、多媒体技术等领域。CAGD的产生与发展使几何学从传统时代进入了数字化定义的信息时代，焕发出勃勃生机。

3.研究背景

计算机辅助几何设计这一术语是1974年由Bamhill与Riesenfeld在美国Utah大学的一次国际会议上提出的。发展至今它已与微分几何、代数几何、函数逼近论、拓扑学、抽象代数、矩阵理论、微分方程、最优化、数值分析等数学分支以及计算机辅助设计与加工、数据结构、数控、程序设计、计算机动画等有着紧密的联系，成为一门新兴的交叉学科与边缘学科。

计算机辅助几何设计是涉及数学及计算机科学的一门新兴的边缘学科，主要研究“在计算机图像系统的环境中对曲面信息的表示、运算、修改、存储、设计、显示和分析”。虽然CAGD所用的很多理论工具可以溯源到百年以前，但是具备一门新学科的雏形却是本世纪六十年代末期的事情，这主要得益于计算机的高速数据运算和强大图形功能。虽然说CAGD是数学殿堂中的一名新生儿，但其所用的理论工具却涉及数学中的很多分支，如逼近论、微分几何、计算数学、代数几何和交换代数等等，同时还与计算机图形学有紧密的联系。

随着CAGD理论和应用的不断发展，从飞机，船舶，汽车设计，到工程器件模具设计，到生物医学图像处理等都能看到其广泛的应用。 计算机辅助几何设计的主要研究对象是工业产品的几何形状。工业产品的形状可分为两类：一类是仅由初等解析曲面组成，大多数机械零件属于这一类，可以用画法几何与机械制图的方法表达和传递全部形状信息。第二类是不能由初等解析曲面组成，而以复杂方式自由变化的曲线曲面即所谓自由型曲线曲面组成，如飞机、汽车、船舶等的外形零件，这一类形状无法仅用画法几何与机械制图表达清楚。随着计算机的出现，采用数学方法定义自由型曲线曲面达到实际应用的地步，导致了计算机辅助几何设计这一学科的产生、发展。自由型曲线曲面造型就是依据定义形状的几何信息，应用CAGD提供的方法建立相应的曲线曲面方程即数学模型，并通过计算机系统给出曲线曲面上大量点的信息。通过分析和综合可以了解所定义形状具有的局部和整体几何特征，显示与交互修改几乎同步进行。

在形状信息的计算机表示、分析与综合中，核心问题是计算机表示，即形状描述的数学方法，该方法既要适合计算机处理，有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息的传递和产品数据的交换。此外，要在计算机内表示某一工业产品的形状，其数学描述应保留产品形状尽可能多的性质。从适合计算机处理、便于形状信息传递和产品数据交换的角度来看，产品形状的数学描述应满足下列要求：

唯一性：由已给定的有限信息决定的形状应是唯一的；
几何不变性：用有限信息决定的形状是固定的，不随坐标系的改变而改变；
易于定界(产品的形状总是有界的)；
统一性：既能表示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面：
易于计算机实现及推广应用。

从形状表示与设计的角度来看，产品形状的数学描述还应该满足下列要求：

能表示两种基本形状(解析与非解析曲面)及其复合形状；
能灵活响应设计员自由绘制任意形状；
易于实现光滑拼接；
易于实现对形状的控制(不仅能整体或局部控制，而且能预估到形状的变化)；
几何意义直观明显。

实践中遇到需要解决的主要问题集中在：造型中曲线曲面的形状控制、光滑连接与统一表示。参数曲线曲面造型(Curves and Surfaces Modeling)技术已成为CAD中用于描述形状信息的主要工具，是整个CAGD的基础，它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。

参考文献：

刘植；CAGD中基于Bézier方法的曲线曲面表示与逼近；合肥工业大学博士毕业论文；2009