第四章-筛法与查找

4.1 插花游戏

笔记

  函数（function）是一个具有特定的功能的、相对独立的模块，能够被多次使用。
  函数设计的要素：

 功能：函数的定义（definition）模块：函数的声明（declaration）-->函数名，输入类型，输出类型使用：函数的调用（call）

  

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;bool isPrime(int);int main()
{for (int n = 2; n <= 100; n++)if (isPrime(n))cout << n <<endl;return 0;
}bool isPrime(int n)
{for (int i = 2; i*i <= n; i++)if (n % i == 0)return false;return true;
}

4.2 筛法

笔记

  数组定义：数组的类型，数组的名称，变量的个数；
  筛法思路：埃拉托斯特尼筛法

 初始化“筛子”-->枚举-->用筛子筛选

4.2.3 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;const int N=100;
bool seive[N+1];int main()
{for (int i = 2; i <= N; i++)seive[i] = true;for (int d = 2; d*d <= N; d++)if (seive[d])for (int n = d*d; n <= N; n +=d)seive[n] = false;for (int n =2; n <= N; n++)if (seive[n])cout << n <<endl;return 0;
}

4.2.5 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int r3 = 0, r5 = 0, r7 = 0;int seive[200];cin >> r3 >> r5 >> r7;for (int i = 0; i < 200; i++)seive[i] = 0;for (int i = r3; i < 200; i = i + 3)seive[i]++;for (int i = r5; i < 200; i = i + 5)seive[i]++;for (int i = r7; i < 200; i = i + 7)seive[i]++;for (int i = 0; i < 200; i++)if (seive[i] == 3)cout << i <<endl;return 0;
}

注意：循环中的 i 需要 小于 数组中变量个数，因为200个变量的数组最后一个位seive[199]

4.2.7 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int r3 = 0, r5 = 0, r7 = 0;cin >> r3 >> r5 >> r7;int res =  (r3 * 70 + r5 * 21 + r7 * 15) % 105;cout << res <<endl;return 0;
}

4.2.7 韩信点兵问题的数学理解

• 能被 5,7 除尽数是 35k,其中 k=2，即70除3正好余1，70a 除3正好余a。
• 能被 3,7 除尽数是 21k,其中 k=1，即21除5正好余1，21b 除5正好余b。
• 能被 3,5 除尽数是 15k,其中 k=1，即15除7正好余1，15c 除7正好余c。

所以

• 70a + 21b + 15c 除3正好余a。
• 70a + 21b + 15c 除5正好余b。
• 70a + 21b + 15c 除7正好余c。

所以
（70a + 21b + 15c）%（3 * 5 * 7）为最小值

以上内容摘自网络

4.3 线性查找

笔记

  线性查找：扑克牌问题

 初始化-->枚举-->判定查找-->找到跳出-->输出

  查找最小值/最大值：

 初始化-->枚举-->判定查找-->更新判定值-->输出

4.3.2 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};int pos = -1;for (int i =0; i < 13; i++)if (cards[i] == 112){pos = i;break;}if (pos != -1)cout << "黑桃Q是第" << pos + 1 << "张牌" <<endl;else cout << "没找到" <<endl; return 0;
}

4.3.4 代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};int last_card = 7;int min = 14;int pos = -1;for (int i =0; i < 13; i++)if ((cards[i] % 100) > 7)if ((cards[i] % 100) < min){pos = i;min = cards[i] % 100;}if (pos != -1)cout << "比" << last_card << "大的最小牌是第" << pos + 1 << "张牌" <<endl;else cout << "没找到" <<endl; return 0;
}

注意到，本例中有两张 9 均符合结果，判定为 小于 所以输出的是第一个符合条件的牌的位置

4.4 折半查找

笔记

  已知查找目标是有序排列的
  选择目标最中间的数据作为判定目标，每次判定筛选掉一半数据，所以是折半查找

 初始化-->选取中间数据判定-->找到跳出，未找到更新范围-->范围内无牌-->输出

代码实现

#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int target_card = 112; int cards[13] = {101,107,109,112,202,209,212,213,303,313,402,403,412};int pos = -1;int low = 0, high = 12;while (low <= high){int middle = (low + high) / 2;if (cards[middle] == target_card){pos = middle;break;}else if (cards[middle] > target_card)high = middle -1;elselow = middle +1;}if (pos != -1)cout << target_card << "是第" << pos + 1 << "张牌" <<endl;else cout << "没找到" <<endl; return 0;
}

4.5 排序问题

笔记

  插入排序：将第 i 个元素 插入 之前的数据中的比自己大的数据之前
  选择排序： 选取 第 i 个之后的最小值放在 i 的位置
  折半插入排序：在插入排序中，第 i 个元素之前的数据已经被排序，所以进行插入时可以使用折半查找

4.5.1 代码实现

//插入排序
#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};for (int i =0; i < 13; i++){int pos = -1, min = 500, target = cards[i];for (int j = 0; j < i; j++)if(cards[j] > target)if(cards[j] < min){min = cards[j];pos = j;}if (pos != -1){for (int j = i; j >pos; j--)cards[j] = cards[j - 1];cards[pos] = target;}}for (int i =0; i < 13; i++)cout << cards[i] << " ";cout <<endl;return 0;
}

4.5.1 代码简化

  因为第 i 个数据之前的值，已经从小到大排列过，所以当按照顺序找到的第一个比 cards[i] 大的数时，这个数肯定是期望的最小数，所以可以简化掉对 min 的处理

for (int i =0; i < 13; i++){int pos = 0, target = cards[i];while (target > cards[pos])pos++;for (int j = i; j >pos; j--)cards[j] = cards[j - 1];cards[pos] = target;}

4.5.2 代码实现

//选择排序
#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};for (int i =0; i < 13; i++){int min = cards[i],pos = i;for (int j = i + 1; j < 13; j++)if (cards[j] < min){min = cards[j];pos = j;}cards[pos] = cards[i];cards[i] = min;}for (int i =0; i < 13; i++)cout << cards[i] << " ";cout <<endl;return 0;
}

4.5.3 代码实现

//函数写法
#include <iostream>
using namespace std;void insertsort(int cards[], int n);
void selectsort(int cards[], int n);int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};//  insertsort(cards, 13);selectsort(cards, sizeof(cards) / sizeof(int));for (int i =0; i < 13; i++)cout << cards[i] << " ";cout <<endl;return 0; return 0;
}void insertsort(int cards[], int n)
{for (int i =0; i < n; i++){int pos = 0, target = cards[i];while (target > cards[pos])pos++;for (int j = i; j >pos; j--)cards[j] = cards[j - 1];cards[pos] = target;}
}void selectsort(int cards[], int n)
{for (int i =0; i < n; i++){int min = cards[i],pos = i;for (int j = i + 1; j < n; j++)if (cards[j] < min){min = cards[j];pos = j;}cards[pos] = cards[i];cards[i] = min;}
}

4.5.3 代码拓展

  数组的长度，使用 sizeof() 提取数组长度，因为数组是一个 int 类型的数组，所以需要除以 sizeof(int) 才是最终的数组长度。

4.5.4 代码实现

//折半插入排序
#include <iostream>
using namespace std;int main()
{int cards[13] = {101,112,109,107,202,209,213,212,313,303,403,412,402};for (int i =0; i < 13; i++){int pos = -1,target = cards[i];int low = 0, high = i - 1;while (low <= high){int middle = (low + high) / 2;if((cards[middle] < target) && (cards[middle + 1] > target)){pos = middle + 1;break;}else if (cards[middle] > target)high = middle -1;elselow = middle +1;}if (pos != -1){for (int j = i; j >pos; j--)cards[j] = cards[j - 1];cards[pos] = target;}}for (int i =0; i < 13; i++)cout << cards[i] << " ";cout <<endl;return 0;
}

语法自测-试题答案

本题中 i-j 为负数

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